Funció bijectiva
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una funció o aplicació bijectiva també anomenada simplement una bijecció és una funció f d'un conjunt X a un conjunt Y (f:X → Y) amb la propietat que per a cada y de Y hi ha exactament un x de X tal que .[1]
Desglossant aquesta propietat en d'altres importants podem dir que f és bijectiva si és una correspondència tal que tots els elements del domini tenen imatge (és a dir, és una funció), tots els elements del recorregut tenen una única antiimatge, (és a dir, és una funció injectiva) i al mateix temps tots els elements del codomini són al recorregut perquè són imatge d'algun element del domini (és a dir, és una funció suprajectiva). En definitiva, una funció injectiva i exhaustiva.[2][3]
D'una bijecció també se'n diu una permutació. Tot i que això es fa servir més habitualment quan . El conjunt de totes les bijeccions de X en Y es denota com a . De fet, quan existeix alguna bijecció entre dos conjunts X i Y es diu que aquests són equipotents i es nota . La relació d'equipotència és d'equivalència i conserva moltes propietats, com el cardinal.
Les funcions bijectives tenen un paper fonamental en moltes àrees de les matemàtiques, per exemple en la definició d'isomorfismes (i conceptes relacionats com els homeomorfismes i els difeomorfismes), grup de permutacions, projectivitats, i molts altres.