Distribució multinomialFrom Wikipedia, the free encyclopedia En probabilitat i estadística la distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan en un experiment aleatori hi ha més de dos resultats possibles. Concretament, fem n {\displaystyle n} repeticions d'un experiment que té k {\displaystyle k} resultats diferents possibles i comptem el nombre de vegades que es produeix cadascun dels resultats possibles. Entre les nombroses aplicacions d'aquesta distribució en Estadística destaca el test de Pearson de la χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} . Dades ràpides Tipus, Paràmetres ...Distribució multinomialTipusdistribució de probabilitat discreta i distribució conjunta Paràmetres n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} nombre de repeticions, p 1 , … , p k ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}\in (0,1)} , amb ∑ i = 1 k p i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1} , probabilitats dels diferents resultatsSuport ( x 1 , … , x k ) ∈ { 0 , 1 , … , n } k {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\in \{0,1,\dots ,n\}^{k}} , amb ∑ i = 1 k x i = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}=n} Esperança matemàtica E ( X i ) = n p i {\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}} Variància Var ( X i ) = n p i ( 1 − p i ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})} Cov ( X i , X j ) = − n p i p j , i ≠ j {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j},\ i\neq j} Entropia − log ( n ! ) − n ∑ i = 1 k p i log ( p i ) + ∑ i = 1 k ∑ x i = 0 n ( n x i ) p i x i ( 1 − p i ) n − x i log ( x i ! ) {\displaystyle -\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)} FGM ( ∑ j = 1 k p j e t j ) n , ( t 1 , … , t k ) ∈ R k {\displaystyle {\Big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{t_{j}}{\Big )}^{n},\ (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}} FC ( ∑ j = 1 k p j e i t j ) n , ( t 1 , … , t k ) ∈ R k {\displaystyle {\Big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}{\Big )}^{n},\ (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}} FGP ( ∑ j = 1 k p j z j ) n , ( z 1 , … , z k ) ∈ C k {\displaystyle {\big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}z_{j}{\big )}^{n},\ (z_{1},\dots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}} MathworldMultinomialDistribution Tanca
En probabilitat i estadística la distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan en un experiment aleatori hi ha més de dos resultats possibles. Concretament, fem n {\displaystyle n} repeticions d'un experiment que té k {\displaystyle k} resultats diferents possibles i comptem el nombre de vegades que es produeix cadascun dels resultats possibles. Entre les nombroses aplicacions d'aquesta distribució en Estadística destaca el test de Pearson de la χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} . Dades ràpides Tipus, Paràmetres ...Distribució multinomialTipusdistribució de probabilitat discreta i distribució conjunta Paràmetres n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} nombre de repeticions, p 1 , … , p k ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}\in (0,1)} , amb ∑ i = 1 k p i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1} , probabilitats dels diferents resultatsSuport ( x 1 , … , x k ) ∈ { 0 , 1 , … , n } k {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\in \{0,1,\dots ,n\}^{k}} , amb ∑ i = 1 k x i = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}=n} Esperança matemàtica E ( X i ) = n p i {\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}} Variància Var ( X i ) = n p i ( 1 − p i ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})} Cov ( X i , X j ) = − n p i p j , i ≠ j {\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j},\ i\neq j} Entropia − log ( n ! ) − n ∑ i = 1 k p i log ( p i ) + ∑ i = 1 k ∑ x i = 0 n ( n x i ) p i x i ( 1 − p i ) n − x i log ( x i ! ) {\displaystyle -\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)} FGM ( ∑ j = 1 k p j e t j ) n , ( t 1 , … , t k ) ∈ R k {\displaystyle {\Big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{t_{j}}{\Big )}^{n},\ (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}} FC ( ∑ j = 1 k p j e i t j ) n , ( t 1 , … , t k ) ∈ R k {\displaystyle {\Big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}{\Big )}^{n},\ (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}} FGP ( ∑ j = 1 k p j z j ) n , ( z 1 , … , z k ) ∈ C k {\displaystyle {\big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}z_{j}{\big )}^{n},\ (z_{1},\dots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}} MathworldMultinomialDistribution Tanca