Duplicació del cub
From Wikipedia, the free encyclopedia
La duplicació del cub (també conegut com a problema delià) és un dels tres problemes irresolubles mitjançant una construcció amb regle i compàs de la geometria grega.
La duplicació del cub ha estat un dels problemes més importants i influents de la història de les matemàtiques, ja que molts dels intents per solucionar-lo han desembocat en l'aparició i desenvolupament de moltes eines i teories matemàtiques importants.
Juntament amb la quadratura del cercle i la trisecció de l'angle, formen els anomenats tres problemes especials de la matemàtica grega. Tot i que la quadratura del cercle es troba en altres cultures, probablement de forma independent, i ja havia estat tractat pels egipcis, la duplicació del cub i la trissecció de l'angle són d'origen purament hel·lènic.
Segons la llegenda, els ciutadans d'Atenes van consultar a l'oracle d'Apol·lo de Delos el 430 aC. Volien saber com podien eliminar una plaga que estava arrasant les seves terres. L'oracle va respondre que per aturar la plaga havien de doblar la mida del seu altar. Els habitants d'Atenes van doblar la longitud de cada costat de l'altar i la plaga es va incrementar. La interpretació correcta era que havien de doblar el volum de l'altar i no simplement els seus costats. Aquest va ser realment un problema molt difícil de resoldre, però el 350 aC va ser resolt gràcies als esforços de Menaechmus. L'únic problema era que la plaga va acabar algunes dècades abans. Aquest problema s'anomena comunament "problema delià" degut a aquesta llegenda.[1]
Hipòcrates de Quios (ca. 470 aC – ca. 410 aC) va ser un famós matemàtic, geòmetra i astrònom de l'antiguitat. Segons Aristòtil, encara que era un talentós geòmetra, era estult i presentava una manca de sentit comú en altres aspectes .
En l'àmbit de les matemàtiques, la seva major fita va ser que fou el primer matemàtic a escriure un llibre de geometria ordenat de manera sistemàtica, és a dir, demostrant els diferents teoremes a partir d'un conjunt reduït d'axiomes. Va ser anomenat Elements (precisament, és d'aquí d'on Euclides treu el nom del seu famós llibre), del qual només ha sobreviscut un petit fragment. D'altra banda, també se li atribueix ser el primer de fer servir el mètode de la reducció a l'absurd com a eina de demostració matemàtica.
En l'àmbit de la geometria en particular, a part d'estudiar el problema de la duplicació del cub, Hipòcrates també va estudiar altres problemes clàssics com el de la quadratura del cercle. Fins aleshores, mai s'havia aconseguit la quadratura d'una figura amb línies corbes i els matemàtics d'aquella època començaven a intuir que seria impossible. Hipòcrates, emperò, va aconseguir quadrar una figura amb línies corbes coneguda com a lluna d'Hipòcrates. En concret, va demostrar que l'àrea de la lluna de la figura és igual a l'àrea del triangle .
Quant a la duplicació del cub, Hipòcrates fou el responsable d'una reducció en el problema, de manera que l'enunciat fos aparentment més senzill. Tal reducció va fer pensar als diferents geòmetres que el problema podria ser resolt, però les seves suposicions eren infundades, ja que tal com es pot veure a la secció [sec:prova] és impossible aconseguir la duplicació del cub només amb regle (no marcat) i compàs.
Aquesta reducció consisteix a observar que el volum del cub augmenta seguint una progressió geomètrica cada cop que dupliquem la mida de l'aresta. Això implica que per trobar un volum igual al doble del volum inicial, la mida de l'aresta ha d'estar entre i , on és la mida inicial de l'aresta.
Com és una progressió geomètrica, cal utilitzar el mig proporcional (mitjana geomètrica) per tal de trobar aquest valor. I aquesta és la coneguda reducció d'Hipòcrates, la qual redueix el problema de la duplicació del cub al de trobar un mig proporcional.
Si denotem els dos mitjos proporcionals per i , aleshores, d'aquestes proporcions es té:
De manera que:
Per tant:
En conseqüència, es té que:
Així, és el valor de l'aresta d'un cub que té el volum doble d'un cub d'aresta . La construcció d'un segment d'aquesta longitud utilitzant regle (no marcat) i compàs és impossible, tal com es va poder demostrar utilitzant matemàtica més moderna.