For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Espai compacte.

Espai compacte

De Viquipèdia

En topologia, un subconjunt d'un espai topològic es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot tal que són tots oberts i , hi ha finit tal que .

Notar que, en particular, podria ser . En aquest cas es parla d'un espai compacte . Es verifica llavors que és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça.

El teorema de Heine-Borel estableix que els subconjunts compactes de són els conjunts tancats i acotats.

Un resultat important diu que és compacte si i només si tota xarxa continguda en té un punt d'acumulació.

Algunes propietats

Es compleix que si és varietat afí, aleshores és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacto.

Compacitat en espais mètrics

Si s'ha de és un espai mètric, llavors, per , les següents proposicions són totes equivalents:

  1. és compacte
  2. és seqüencialment compacte
  3. és complet i totalment tancat

A més, s'ha de serà sempre tancat i acotat.

El teorema de Heine-Borel dona una caracterització útil en els espais vectorials normats de dimensió finita: és compacte si i només si és tancat i fitat. Tanmateix, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix[Cal aclariment], és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el teorema de Arzelá-Ascoli.

Importància dels Conjunts Compactes

Els conjunts compactes tenen gran importància en diversos resultats de l'anàlisi, sent un dels més importants el teorema de Weierstrass: tota funció real contínua definida en un espai compacte assoleix el seu màxim i el mínim.

Un altre resultat important és el teorema de Heine, que indica que tota funció contínua el domini sigui un conjunt compacte, serà uniformement contínua.

Vegeu també

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Espai compacte
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.