Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos (Pot ser o ), el qual té una operació definida amb la següent funció:
anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:
- Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:
- Aquesta condició implica que per a tot , perquè .
- Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:
- En el cas que el cos sigui aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.
- (Té sentit, ja que per a tot .)
- A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:
En els espais amb producte escalar es defineix una norma
La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:
- és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.
Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:
- La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents
- Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
- La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz
- Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.
- Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:
- Si x 1 , ..., x n són vectors ortogonals, o sigui, < x j , x k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors
- Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.
- :=xy}
- Més generalment, qualsevol espai euclidià Rn amb el producte escalar és un espai amb producte intern.
- :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}}
- Es té la norma: