Família exponencial

En probabilitat i estadística, una família exponencial és una família de distribucions de probabilitat amb paràmetre θ, possiblement vectorial, tal que la seva funció de densitat de probabilitat (o funció de massa de probabilitat, en el cas de distribucions discretes) pot prendre la forma

${\displaystyle f(x|{\boldsymbol {\theta }})=h(x)c({\boldsymbol {\theta }})exp\left(\sum _{i=1}^{k}w_{i}({\boldsymbol {\theta }})t_{i}(x)\right)}$

No s'ha de confondre amb la distribució exponencial.

a on:

• ${\displaystyle h(x)\geq 0{\text{ i }}t_{1}(x),t_{2}(x),...,t_{k}(x)}$ són funcions que depenen només de x (i no de θ).
• ${\displaystyle c({\boldsymbol {\theta }})\geq 0{\text{ i }}w_{1}({\boldsymbol {\theta }}),w_{2}({\boldsymbol {\theta }}),...,w_{k}({\boldsymbol {\theta }})}$ són funcions que depenen només de θ (i no de x).^[1]

Les densitats d'una família exponencial tenen bones propietats matemàtiques i estadístiques.^[2] Algunes de les famílies de distribucions més comunes (normal, beta, gamma…) són famílies exponencials.

Referències

1. Casella i Berger, 2002, p. 111.
2. Casella i Berger, 2002, p. 112.

Bibliografia

• Casella, George; Berger, Roger L. Statistical Inference (PDF) (en anglès). 2a edició. Pacific Grove (USA): Thomson Learning, 2002 [Consulta: 15 març 2014]. Arxivat 2015-02-18 a Wayback Machine.