For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Hiperboloide.

Hiperboloide

De Viquipèdia

L'hiperboloide és la superfície de revolució generada per la rotació d'una hipèrbola al voltant d'un dels seus dos eixos de simetria. Depenent de l'eix escollit, l'hiperboloide pot ser d'una o dues fulles.

Per entendre-ho millor, es considera a continuació el cas de la hipèrbola de referència, l'equació és:

Al sistema de coordenades .

La revolució voltant de l'eix de simetria vermell genera un hiperboloide connex, mentre que la rotació al voltant de l'eix blau, que travessa dues vegades la hipèrbola, dona un hiperboloide de dos fulls.

Hiperboloide reglat o d'una fulla.
Hiperboloide reglat o d'una fulla.

Equacions de l'hiperboloide

Equació Cartesiana

Per trobar les equacions d'aquestes superfícies, resulta més còmode treballar en el sistema de coordenades , els eixos dels quals són els de simetria. Siguin X i Y les coordenades en aquest sistema, llavors tenim la igualtat:

és a dir:

Després, identificant els coeficients de sengles vectors:

L'equació inicial s'escriu també xy = 1, és a dir (X - Y) · (X + Y) = 1, llavors:

Si es gira al voltant de l'eix Y, de vector director , llavors s'atorga a la tercera coordenada Z el mateix paper que a X, per tant Z i X apareixen sota la mateixa forma a l'equació, concretament precedit del signe «+ »:

De la mateixa manera, si gira al voltant de l'eix , de vector director , llavors apareix sota la mateixa manera que a l'equació, és a dir amb un signe «-»:

Reagrupant les coordenades del mateix signe, canviant els signes si hi ha 2 negatius, i reanomenant les variables per obtenir l'ordre habitual , s'obté una d'aquestes dues equacions:

(un full) (dos fulls)

Es generalitzen aquests dos exemples així: un hiperboloide és una quàdrica l'equació de la qual és, en un sistema de coordenades adequat, (amb el centre situat al centre de simetria, els plans dels quals són plans de simetria de la superfície), de la forma:

Aquestes superfícies s'obtenen, d'entre l'exemple, estirant en la direcció dels x pel factor a, multiplicant les distàncies en els i per b, i en els z per c. És a dir que, fonamentalment, tenen la mateixa forma.

Equació paramètrica

En un espai euclidià tridimensional, els punts de la superfície de l'hiperboloide poden ser parametritzats de la següent manera:

Parametrització sense utilitzar les funcions hiperbòliques:

Àrea

La superfície d'un hiperboloide d'un full d'altura h, situat entre els plans i de secció transversal circular, és a dir, . La seva equació queda de la forma

Si

Volum

El volum comprès per la funció de l'hiperboloide d'un full i els plànols .

Seccions

La secció produïda per un pla perpendicular a l'eix és una el·lipse. La equació d'un pla qualsevol z = k, \, k \ in \ mathbb {R} la intersecció amb l'hiperboloide ens donarà una el·lipse d'equació:

El cas particular on a = b la secció produïda pel pla serà una circumferència. L'el·lipse menor de totes les possibles rep el nom d'el·lipse de coll.

La secció produïda per un pla paral·lel al seu eix és una hipèrbola de diferents orientacions. Un pla, per exemple, d'equació, talla l'hiperboloide segons la corba d'equació

Depenent del valor de k' s'obtenen les següents corbes:


Hipèrbola amb fulles en horitzontal:


Hipèrbola amb fulles en vertical:

Un parell de rectes que es tallen:

La secció produïda per un pla inclinat respecte de l'eix de revolució és una el·lipse, d'equació:

A les figures es representa la secció d'hiperboloides, d'una i dues fulles, tallats per un pla paral·lel al seu eix de revolució, i de l'altra perpendicular.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Hiperboloide
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Hiperboloide
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.