Independència lineal
From Wikipedia, the free encyclopedia
En àlgebra lineal, un conjunt de vectors és linealment independent (l.i.) si cap d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels altres. Un exemple en R3 de conjunt vectors linealment independents és: (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (aquesta és la base canònica de R3). En canvi, els vectors (1,2,1) (2,4,2), no ho són, ja que el segon vector és dos cops el primer. Tampoc ho són (1,2,2) (2,1,4) (3,3,6), ja que (1,2,2)+(2,1,4)=(3,3,6) (o sigui, hem posat el tercer vector com a combinació lineal dels altres dos).
Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat. |
Una definició que es pot demostrar que és equivalent a l'anterior és: Sigui {v1, v₂, ..., vn} un conjunt de vectors. Diem que són linealment independents si l'equació implica necessàriament que els coeficients a1, a₂, ..., an són tots 0.
Un conjunt linealment independent que generi l'espai vectorial és una base d'aquest espai. D'aquí es dedueix que qualsevol conjunt de vectors linealment independent és base del subespai que genera.
Per comprovar si són l.i. es pot aplicar la fórmula ja anomenada, o bé es poden col·locar els vectors per columna i esglaonar la matriu. Si el rang és màxim, els vectors són linealment independents.