cover image

Integració

operació del càlcul infinitesimal / From Wikipedia, the free encyclopedia

El concepte d'integració és un concepte fonamental de les matemàtiques avançades, especialment en els camps del càlcul i de l'anàlisi matemàtica. Bàsicament, una integral és una generalització de la suma d'infinits sumatoris, infinitament petits. Una integral assigna números a funcions d'una manera que pot descriure el desplaçament, l'àrea, el volum i altres conceptes que sorgeixen combinant dades infinitesimals. La integració és una de les dues principals operacions de càlcul, amb la seva inversa, derivació, que és l'altra.

La integral definida d'una funció representa l'àrea limitada per la gràfica de la funció amb signe positiu quan la funció té valors positius i negatiu quan en té de negatius.

Donada una funció f(x) d'una variable real x i un interval [a,b] de la recta real, la integral

és igual a l'àrea de la regió del pla xy limitada entre la gràfica de f, l'eix x, i les línies verticals x = a i x = b, on es resten les àrees que estan per sota de l'eix x.

La paraula "integral" també es pot referir a la noció de funció primitiva, és a dir, una funció F, la derivada de la qual és la funció donada f. En aquest cas s'anomena integral indefinida, mentre que les integrals tractades en aquest article són les integrals definides. Alguns autors conserven una distinció entre primitives i integrals indefinides.

Els principis de la integració varen ser formulats per Newton i Leibniz a finals del segle xvii. A través del teorema fonamental del càlcul, que varen desenvolupar tots dos de forma independent, la integració es connecta amb la derivació, i la integral definida d'una funció es pot calcular fàcilment un cop se'n coneix una primitiva. Les integrals i les derivades esdevenen eines bàsiques del càlcul, amb nombroses aplicacions en ciència i enginyeria.

A començaments del segle xix, Bernhard Riemann va donar una definició rigorosa de la integral. Es basa en un límit que aproxima l'àrea d'una regió curvilínia a base de partir-la en petits bocins verticals. Posteriorment varen començar a aparèixer nocions més sofisticades de la integral, on s'han generalitzat els tipus de les funcions i els dominis sobre els quals es fa la integració. La integral curvilínia es defineix per funcions de dues o tres variables, i l'interval d'integració [a,b] se substitueix per una certa corba que connecta dos punts del pla o de l'espai. En una integral de superfície, la corba se substitueix per un bocí d'una superfície a l'espai de tres dimensions. Els conceptes moderns d'integració es basen en la teoria matemàtica abstracta coneguda com a teoria de la mesura, que va desenvolupar Henri Lebesgue a principis del segle xx.

Les integrals de les formes diferencials juguen un rol fonamental en la geometria diferencial moderna. Aquestes generalitzacions de la integral varen sorgir primer a partir de les necessitats de la física, i tenen un paper important en la formulació de moltes lleis físiques com, per exemple, les de l'electromagnetisme.

Table info: ...
Close