Matriu de rotació
From Wikipedia, the free encyclopedia
En àlgebra lineal, una matriu de rotació és la matriu que representa una rotació a l'espai euclidià. Per exemple, la matriu
representa la rotació de θ graus del pla (2 dimensions) en sentit antihorari. Encara que en la majoria de les aplicacions es consideren rotacions en dues o tres dimensions, les matrius de rotació poden definir-se en espais de qualsevol dimensió. Algebraicament, una matriu de rotació R és una matriu ortogonal de determinant igual a 1:
Com que la multiplicació de matrius no té efecte sobre el vector zero (l'origen de coordenades), les matrius de rotació només poden ser usades per a descriure rotacions sobre l'origen del sistema de coordenades. Les matrius de rotació proporcionen una descripció algebraica d'aquestes rotacions. Les matrius de rotació són quadrades i amb valors reals (encara que es poden definir sobre altres cossos). Més específicament, poden ser caracteritzades com a matrius ortogonals amb determinant 1; és a dir, una matriu quadrada R és una matriu de rotació si R⊤ = R−1 i det(R) = 1. En alguns casos, el terme de rotació és generalitza per incloure rotacions impròpies, caracteritzades per matrius ortogonals amb determinant −1 (en comptes d'1). Aquestes combinen rotacions amb reflexions (que inverteixen orientació).
El conjunt de totes les matrius de rotació de dimensió n×n forma un grup que es coneix com a grup de rotacions (o grup ortogonal especial) SO(n). El cas especial més comú és la rotació a l'espai de 3 dimensions, descrita pel grup SO(3) usat sovint en geometria, física, informàtica i navegació. El conjunt de totes les matrius ortogonals de dimensió n amb determinant 1 o −1 forma el grup ortogonal (general) O(n).