Nombre p-àdic
From Wikipedia, the free encyclopedia
El sistema de nombres p-àdics fou descrit per primera vegada per Kurt Hensel el 1897. Per a cada nombre primer p, el sistema de nombres p-àdic estén l'aritmètica simple dels nombres racionals en una forma diferent de la manera tradicional en la qual s'estenen els nombres racionals als nombres reals o als complexos. Les principals aplicacions d'aquest sistema es produeixen en el camp de la teoria de nombres.
Aquesta nova extensió es deu a una interpretació diferent del concepte de valor absolut. Els nombres p-àdics apareixeren com a resultat dels intents d'incorporar les idees, tècniques i mètodes de les sèries de potències a la teoria de nombres. La seva influència, però, avui en dia s'estén molt més enllà d'aquests objectius inicials. Per exemple, el camp de l'anàlisi p-àdica aporta una forma alternativa d'anàlisi matemàtica o càlcul infinitesimal.
Més formalment, per una p donada, el cos p dels nombres p-àdics és una extensió de cossos dels nombres racionals. Si considerem col·lectivament totes les extensions p arribem al principi local-global de Helmut Hasse, el qual ve a dir que certes equacions poden ésser resoltes sobre els nombres racionals si i només si poden ésser resoltes sobre els nombres reals i sobre els nombres p-àdics per a tot p primer. El cos p té una topologia derivada d'una mètrica, la qual ella mateixa prové d'una valoració dels nombres racionals. Aquesta mètrica és completa en el sentit que tota successió de Cauchy convergeix. Això és el que permet desenvolupar el càlcul en p i és la interacció d'aquesta estructura algebraica i analítica el que dona als nombres p-àdics la seva força i utilitat.
En el context de les corbes el·líptiques als nombres p-àdics se'ls anomena habitualment nombres -àdics, degut al treball de Jean-Pierre Serre on el nombre primer p es reserva normalment per l'aritmètica modular d'aquestes corbes.