For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Cònica.

Cònica

Les còniques són de tres tipus: paràboles (1); el·lipses, incloent-hi circumferències (2); i hipèrboles (3).
Les còniques són de tres tipus: paràboles (1); el·lipses, incloent-hi circumferències (2); i hipèrboles (3).
Tipus de seccions còniques
Tipus de seccions còniques

En matemàtiques, una secció cònica (o simplement cònica) és una corba obtinguda com la intersecció de la superfície d'un con amb un pla. Els tres tipus de secció cònica són la hipèrbola, la paràbola i l'el·lipse; la circumferència és un cas especial de l'el·lipse, tot i que històricament de vegades es deia un quart tipus. Els antics matemàtics grecs van estudiar seccions còniques, culminant cap al 200 aC amb el treball sistemàtic d'Apol·loni de Perge sobre les seves propietats.[1]

Característiques

Una secció cònica o cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:

en què A, B i C no són tots tres nuls.

Paràmetres d'una el·lipse: 2a eix major; 2b eix menor; ℓ semilatus
Paràmetres d'una el·lipse: 2a eix major; 2b eix menor; semilatus

Les seccions còniques són exactament aquelles corbes que, per a un punt F, una línia de L que no conté F i un nombre no negatiu e, són els llocs geomètrics dels punts la distància dels quals a F és igual a e vegades la seva distància a L. F s'anomena focus, L la directriu, i e l'excentricitat.

L'excentricitat lineal (c) és la distància entre el centre i el focus (o qualsevol dels dos focus).

El latus rectum (2) és la corda paral·lela a la directriu i que passa pel focus (o qualsevol dels dos focus).

El semilatus rectum () és la meitat del latus rectum.

El paràmetre focal (p) és la distància des del focus (o qualsevol dels dos focus) a la directriu.

Es tenen les relacions següents:

Diversos paràmetres s'associen amb una secció cònica, com es mostra en la taula següent. (Per a l'el·lipse, la taula dona el cas d'a > b, per als quals l'eix major és horitzontal; per al cas invers, l'intercanvi dels símbols a i b. Per a la hipèrbola, l'oest a l'est. En tots els casos, a i b són positius.)

secció cònica equació excentricitat (e) excentricitat lineal (c) semilatus rectum () paràmetre focal (p)
Circumferència
El·lipse
Paràbola
Hipèrbola

Visió geomètrica

Tipus de seccions còniques
Tipus de seccions còniques

Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi d'origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:

Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.

Forma canònica

L'anterior equació la podem escriure de la forma matricial

En què:

Segons la forma canònica que adopti la matriu , trobem les diferents solucions que tenen les còniques ( són valors reals, diferents de ):

el·lipse imaginària
el·lipse real
dues rectes imaginàries no paral·leles
hipèrbola
dues rectes reals no paral·leles
paràbola
dues rectes imaginàries paral·leles
dues rectes reals paral·leles
dues rectes coincidents
una recta real

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

Referències

  1. Holme, Audun. Geometry: Our Cultural Heritage (en anglès). Springer Science & Business Media, 2013, p. 102-103. ISBN 3662047209. 

Vegeu també

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cònica
{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Cònica
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.