Teorema de la integral de Cauchy

El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

No s'ha de confondre amb Fórmula de la integral de Cauchy o Fórmula de Cauchy per a la integració repetida.

Enunciat

Si ${\displaystyle f(z)}$ és analítica en un domini simplement connex ${\displaystyle D}$ i la seva derivada és contínua en ${\displaystyle D}$, llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en ${\displaystyle D}$ es té:

${\displaystyle \oint _{D}f(z)dz=0\,}$

Extensió

Posteriorment, Édouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi que la derivada de ${\displaystyle f}$ fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

• El teorema segueix essent vàlid quan el contorn ${\displaystyle C}$ no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
• Sigui ${\displaystyle C}$ un contorn simple tancat, i siguin ${\displaystyle C_{j}}$ (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de ${\displaystyle C}$, tals que les regions interiors a cada ${\displaystyle C_{j}}$ no tinguin punts en comú. Sigui ${\displaystyle R}$ la regió tancada formada per tots els punts dins de ${\displaystyle C}$, llevat dels punts interiors a cada ${\displaystyle C_{j}}$. Denotem per ${\displaystyle F}$ tota la frontera orientada de ${\displaystyle R}$ formada per ${\displaystyle C}$ i tots els contorns ${\displaystyle C_{j}}$, recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de ${\displaystyle R}$ quedin a l'esquerra de ${\displaystyle F}$. Llavors, si ${\displaystyle f}$ és analítica en tot ${\displaystyle R}$, tenim que:

${\displaystyle \oint _{F}f(z)dz=0\,}$

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui ${\displaystyle f(z)}$ analítica sobre ${\displaystyle C}$, essent ${\displaystyle z}$ un contorn tancat simple i a l'interior de ${\displaystyle C}$. Si s'agafa un punt interior "${\displaystyle z_{0}}$" de ${\displaystyle C}$, es compleix que:

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz=2\pi if(z_{0})}$

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també

• Anàlisi complexa
• Fórmula de la integral de Cauchy

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Cauchy integral theorem. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric W., «Cauchy Integral Theorem» a MathWorld (en anglès).