Teorema d'incompletesa de Gödel
teorema que afirma que una classe àmplia de sistemes lògics no pot ser alhora consistent i completa / From Wikipedia, the free encyclopedia
En lògica matemàtica, els teoremes d'incompletesa de Gödel són dos cèlebres teoremes demostrats per Kurt Gödel l'any 1930. Simplificant, el primer teorema afirma:
- En qualsevol formalització consistent de les matemàtiques que sigui prou forta per definir el concepte de nombres naturals, es pot construir una afirmació que ni es pot demostrar ni es pot refutar dins d'aquest sistema.
Aquest teorema és un dels més famosos, més enllà de les matemàtiques, però sí i un dels pitjor compresos. És un teorema de lògica formal, i com a tal és fàcil mal interpretar-lo. N'hi ha molts que semblen similars a aquest primer teorema d'incompletesa de Gödel, però que en realitat no són certs (vegeu la secció «Malentesos entorn dels teoremes de Gödel»).
El segon teorema, que es demostra formalitzant part de la demostració del primer teorema dins el mateix sistema, afirma:
- Cap sistema consistent es pot usar per demostrar-se a si mateix.
Aquest resultat fou devastador per a l'aproximació filosòfica a les matemàtiques conegudes com el programa de formalització de Hilbert. David Hilbert proposà que la consistència dels sistemes més complexos, tals com l'anàlisi real, es podien demostrar en termes de sistemes més senzills. Finalment, la consistència de totes les matemàtiques es podria reduir a l'aritmètica bàsica. El segon teorema d'incompletesa de Gödel demostra que l'aritmètica bàsica no es pot usar per demostrar la seva pròpia consistència i, per tant, tampoc pot demostrar la consistència de cap altre sistema més fort.