Teoria d'equacions
From Wikipedia, the free encyclopedia
En àlgebra, la teoria d'equacions és una expressió que es fa servir en història de la ciència.[1] Designa els treballs que tenen per objectiu principal la resolució d'equacions polinòmiques[Nota 1] o equivalents.[Nota 2] Aquestes equacions, on X designa la incògnita, s'escriuen de la següent manera:[Nota 3]
L'estudi d'aquest tipus de qüestions es remunta als primers texts matemàtics coneguts, com per exemple el papir Rhind. Una primera aproximació permet resoldre l'equació en el cas que el grau del polinomi sigui estrictament més petit que cinc. Durant el Renaixement, amb l'estudi de les equacions cúbiques s'arriben a fer servir uns nous nombres.[Nota 4] Aquests nous nombres es qualifiquen inicialment d'imaginaris i posteriorment de nombres complexos. No és fins més tard que aquests nombres intervenen com a solucions d'equacions de segon grau.
A partir de l'edat moderna, el polinomi també és considerat una funció. Aquest enfocament ofereix mètodes per determinar el nombre d'arrels reals, per localitzar les arrels (és a dir trobar regions on es troben) i per trobar aproximacions tan precises com es vulgui. Un dels seus resultats és el teorema fonamental de l'àlgebra, que diu que tota equació polinòmica no constant admet almenys una arrel en els nombres complexos.
Un punt de vista del segle xix consisteix a estudiar el conjunt de nombres més petit, tancat respecte de les quatre operacions i que contingui alhora els coeficients i les arrels d'una equació donada. Aquest enfocament queda recollit en la teoria de Galois. Ofereix una condició necessària i suficient per saber si una equació polinòmica es resol per les tècniques descrites pel primer enfocament o, en cas contrari, s'ha de limitar a aproximacions procedents de l'anàlisi. Fins al segle xix, la teoria d'equacions es confon amb l'àlgebra. Fonamentalment després de les aportacions de la teoria de Galois, l'àlgebra s'eixampla per tenir en compte noves qüestions. Aquesta teoria és a l'origen de diversos àmbits matemàtics, com la teoria dels grups, la d'anells o, fins i tot, la geometria algebraica.
Si no es precisa més concretament, el terme de teoria d'equacions designa generalment[Nota 5] les equacions polinòmiques.[Nota 6] En canvi, existeixen nombroses equacions que, sense ser algebraiques, són objecte d'una teoria. Llavors cal precisar la natura de l'equació, com en l'expressió teoria d'equacions diferencials.[Nota 7] No existeix una teoria única que s'apliqui a tot tipus d'equacions, ja que formen un conjunt massa dispar.