Grau sexagesimal

Un grau sexagesimal (símbol °) és una unitat de mesura dels angles del pla definit com la sexagèsima part de qualsevol dels angles (iguals) d'un triangle equilàter, o bé, cadascuna de les divisions de les 360 en què es divideix una circumferència segons la divisió sexagesimal. Equival a la norantena part de l'angle recte. No és unitat del Sistema Internacional (SI).^[1]

Grau sexagesimal

Tipus	unitat d'angle, unitat no SI acceptada pel SI, unitat derivada en UCUM i unitats que no formen part del SI però s'hi mencionen i accepten
Unitat de	distància angular
Símbol	°
Conversions d'unitats
A unitats del SI	0,017453292519943 rad
A unitats estàndard	60 ′ 3.600 ″ 4 ᵐ 240 ˢ

S'empra per mesurar qualsevol angle, per donar les coordenades geogràfiques (longitud i la latitud terrestres), les coordenades astronòmiques (longitud i la latitud celestes) i l'amplada dels fusos horaris (15°). El transportador d’angles permet fer mesures directes d’angles dibuixats en graus sexagesimals.^[2]

Els seus divisors són:

• Un grau sexagesimal són seixanta minuts sexagesimals (1° = 60′) (a vegades abreujats arcmin).
• Un minut sexagesimal són seixanta segons sexagesimals (1′ = 60″).^[1]

Un angle mesurat en graus, minuts i segons, com 39° 29′ 24″, es llegeix: 39 graus, 29 minuts i 24 segons.^[2]

Relacions amb d'altres unitats

Transportador d'angles graduat en graus sexagesimals de 0° a 180°.

Altres unitats per a mesurar angles del pla són el radiant i el grau centesimal.

Es relaciona amb el radiant, la unitat del Sistema Internacional d'Unitats, per mitjà de:^[3]$${\displaystyle 1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {2\pi \,{\mbox{rad}}}{360^{\circ }}}={\frac {\pi \,{\mbox{rad}}}{180}}\approx 0,017\,45{\mbox{ rad}}}$$$${\displaystyle 1\,{\mbox{rad}}=1\,{\mbox{rad}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi \,{\mbox{rad}}}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57,295\,78^{\circ }\approx 57^{\circ }\,17'\,45''}$$

L'escaire té angles de 30°, 60° i 90°.

La relació amb els graus centesimals és:

$${\displaystyle 1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {400^{g}}{360^{\circ }}}={\frac {10^{g}}{9}}=1,\!{\widehat {1}}^{g}}$$$${\displaystyle 1^{g}=1^{g}\cdot {\frac {360^{\circ }}{400^{g}}}={\frac {9^{\circ }}{10}}=0,9^{\circ }}$$

Símbols

En aquesta calculadora els angles s'expressen en graus sexagesimals (DEG) com s'observa a la part inferior de la pantalla.

En una calculadora, quan sobre un angle actua una funció trigonomètrica s'acostuma a expressar en graus i part decimal de grau.

sin (47° 52′ 38″) = sin (47,877222...) = 0,741709...

Així 32,4762° = 32° 28′ 34,32″ on els divisors del segon sexagesimal sí que usen el sistema decimal.

A les calculadores s'acostuma a indicar les unitats utilitzades en els càlculs d'angles amb les abreviatures següents:^[4]

graus sexagesimals	DEG
radiants	RAD
graus centesimals	GRA

La introducció d'un angle en graus, minuts i segons es fa, a les calculadores científiques, emprant la seguent tecla que s'ha de pitjar després d'introduir cadascun dels valors de graus, minuts i segons. Després, amb la mateixa tecla, es pot alternar entre expressar l'angle només en graus, amb els corresponents decimals, o en graus, minuts i segons:^[4]

° ' "

El sistema sexagesimal de mesurament d'angles

unitat	valor	símbol	abreviatura(es)
grau	1/360 cercle	° símbol de graus	º
minut d'arc	1/60 graus	′ (símbol de minuts)	${\displaystyle {\hat {'}}}$
segon d'arc	1/60 minuts d'arc	″ (símbol de segons)	″
mil·lèsimes de segon d'arc	1/1000 segons d'arc		msa

Història

Numerals babilonis.

Portada d'una còpìa del 1528 de l'Almagest de Claudi Ptolemeu.

L'origen del grau sexagesimal és antiquíssim. El sistema sexagesimal fou fet servir des del temps dels sumeris fa més de 5 000 anys.^[5] Els astrònoms sumeris feien servir en els seus treballs el sistema de numeració sexagesimal. L'origen de la numeració de base 60 és una de les incògnites de la història. S'han formulat moltes hipòtesis; entre elles, la de Teó d'Alexandria (segle iv dC) per a qui l'elecció resideix en el fet que és un nombre amb molts divisors (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60). Una altra hipòtesi considera que podria tenir el seu fonament que els calculistes sumeris usessin per comptar amb boles d'argila, un dels traços més senzills de fer a terra, una aspa de tres braços, i la més senzilla de les numeracions, el decimal emprant els dits de les mans. Amb això, s'estaven combinant simultàniament dos sistemes de numeració de bases respectives 60 i 10. Amb aquests dos artificis, una persona que necessités comptar una sèrie d'objectes (animals, atuells, persones, etc.) podria traçar fàcilment a terra una aspa de tres braços, usant un simple palet per dibuixar a la sorra. A continuació, començaria a comptar els objectes amb els dits, col·locant tants comptes d'argila a cadascun d'aquests sectors com dits hagués utilitzat, i col·locant deu comptes a cada sector. Si un cop plens, cada sector contenia deu comptes (objectes), els sis sectors del cercle complet contindrien 60 objectes, que formarien el primer nivell del sistema. Repetint l'operació amb una segona aspa, i prenent com a unitat bàsica de compte els seixanta objectes del cercle anterior, ompliria, comptant novament amb els dits, el primer sector de la segona aspa fins a 600 objectes, i completant de nou els sis sectors de la segona aspa tindríem els 600 * 6 = 3 600 = 60².^[6]

Els babilonis dividien la circumferència en 360 parts iguals, i aquesta divisió arribà a l'Europa central per mitjà dels àrabs, que la van prendre dels grecs.^[7]

Els astrònoms grecs van seguir el criteri dels babilonis i van continuar amb el sistema sexagesimal, però el van adaptar al sistema de notació alfabètica de nombres.^[8] En l'Almagest Claudi Ptolemeu (ca. 85 - ca. 165) empra la paraula μοῖρα, moîra, que significa ‘part, divisió’. Aquest vocable fou traduït a l'àrab per دَرَجَة, darajah o darágah, i aquest, alhora, fou abocat literal al llatí per scala, gradus ‘graó, esglaó’ d'on s'originà la paraula «grau». El mateix Ptolemeu, a les subdivisions del grau les anomena: primera part seixantena i segona part seixantena, i les locucions corresponents, però abreujades, van arribar al llatí, a través de les traduccions que de l'obra d'aquest autor grec van fer els àrabs, per primera minuta, secunda minuta; d'on minut = pars minuta, ‘petita part’. El costum d'usar el cercle a manera de pseudoexponent per designar els graus sexagesimals, es remunta també a Ptolemeu, que usava sovint l'abreujament µº per μοίρα, moîra, (') per a minuts i (") per a segons.^[7]

Documents

Hi ha diversos conceptes que es basen en els graus sexagesimals: la eclíptica, el zodíac, l’angle recte, els cercles màxims,... Hi ha obres concretes que permeten demostrar la coneixença i l’ús dels graus sexagesimals. Vegeu, a continuació, una petita mostra aleatòria ordenada cronològicament.

• c 539 aC. Caiguda de Babilònia. Astrònoms babilonis introduïnt el Zodíac amb dotze seccions de trenta graus (per definició graus sexagesimals de 360 en un cercle).^[9]

• c 120 aC. Hiparc de Nicea
  • Autor d’una taula de cordes per a triangles plans, basada en un cercle de 360 graus.^[10][11]

• c90-c 168 dC. Claudi Ptolemeu.
  • Geographia.
  • ^[12][13]

• 1230. De Sphaera mundi.

«	Cum enim colurus iſte ficut alii circuli in ſphæra fit .ccclx.graduum: quarta eius erit .xc.graduum. Cum igit maxima folis declinatio fecundunı Ptolemæum fit .xxiii.graduum&.li.minutorum:	»
— [14]

• 1276. Alfons X de Castella. Libros del saber de astronomía.^[15]

«	... Quando esto quisieres fazer. toma una tabla de latón ó de qual cosa quisieres de que sea fecha, et de qual grandez. Et esta tabla deue a seer bien redonda,et bien egual. de guissa que non sea en un logar mas alta ni mas baxa que en otro, et deuen na limar et allanar quanto mas podieren. Et a mester que non sea muy delgada, porque non se tuerza ni quiebre las caberas de los clauos que están en logar de estrellas, ni se desdigan los picos dellas. Et affírmala en una tabla pessada de madero, con pez ó con otra cosa, en manera que esté bien firme, et non se mueua á ningún cabo, et faz en ella un cérculo del maíor tamanno que pudieres, et escriue sobréll a. b. c. d. et saca los dos diámetros deste cérculo. et ayuntarsán amos á dos en el cérculo sobre ángulo drecho o es el punto de e. et nombran este cérculo de a. b. c. d. Et saca los dos diámetros deste cérculo. et ayuntarsán amos á dos en el cérculo sobre ángulo drecho o es el punto de e. et nombra este cérculo de a. b. c. d. el cérculo de Capricornio. Et quando quisieres fazer el cérculo de aries. et de libra, et el cérculo de cancro, parte el cérculo sobredicho de a. b. c. d. por trezientas et sexaenta partes eguales. et serán en cada quatro nouaenta…	»
— Alfonso X de Castella. Libros del saber de astronomía. Astrolabio llano. 24 capítols. Nota: En les sèries de punts a,b,c,d la transcripció original indica a,b,g,d. La lectura dels dibuixos, sigui “c” o “g” la lletra en qüestió, és prou clara pel que fa a la interpretació.

• 1551. Martín Cortés de Albacar. Breve compendio de la esfera...^[16]

«	Divídese la esfera, según latitud, por grados desta manera, que de la equinocial á cualquiera de los polos hay noventa grados, y según longitud por la equinocial en 360 grados y destos grados, van unos círculos mayores,que se llaman meridianos, á los polos del mundo y estos dividen cada paralelo ó círculo menor en 360 grados. Mas no habemos de entender, que estos grados sean iguales, digo tangrandes en un círculo como en otro, ni son encírculo menor tangrandes como en círculo mayor: así que, cada grado de la equinocial tiene en longitud 60 minutos, por ser grados de círculo mayor, como lo son todos los grados de latitud de Norte á Sur, ó de un polo á otro, así en los cielos como en la superficie de la tierra y agua. Los otros grados de longitud, como se van por paralelos apartando de la equinocialy llegándose á cualquier de los polos,van disminuyendo ...	»
— Breve compendio de la esfera (Biblioteca de escritores aragoneses ).[17]

Vegeu també

• Segon