Cardinal inaccessible

En teoria de conjunts, un cardinal inaccessible és un tipus de nombre cardinal gran. Es caracteritza per ser regular, és a dir, per tenir una cofinalitat igual a si mateix.

Definició

Els cardinals inaccessibles són bàsicament cardinals límit regulars, excloent l'únic cas concret conegut, que és ℵ₀.

Un cardinal feblement inaccessible es un cardinal límit regular distint de ℵ0.

No obstant existix una noció d'inaccessibilitat forta, per als cardinals que són límits forts. Un cardinal límit fort és un cardinal límit κ tal que per a tot cardinal menor, μ < κ <, es té també 2^μ < κ. El cardinal ℵ₀ en particular és un límit fort.

Un cardinal fortament inaccessible es un cardinal límit fort regular distint de ℵ0.

El terme «cardinal inaccessible» pot fer referència a qualsevol de les dues nocions, depenent del context.

Models i consistència

En la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel ZFC pot demostrar-se que:

• El conjunt de Von Neumann V_κ constitueix un model de ZFC si κ és fortament inaccessible.
• Els conjunts constructibles de rang menor que κ, L_κ, formen un model de ZFC si κ és feblement inaccessible.

Per tant, en ZFC no pot demostrar-se l'existència d'un cardinal inaccessible (fort o feble), ja que d'ella es deduiria l'existència d'un model de la pròpia ZFC, la qual cosa està prohibit pel segon teorema de incompletesa de Gödel (sempre que ZFC siga consistent).