Combinació afí

En matemàtiques, donat un espai afí ${\displaystyle (\mathbb {A} ,V,\varphi )}$ sobre un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$, i un nombre finit de punts ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}\in \mathbb {A} }$, una combinació afí de ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}}$ és un punt expressat amb una combinació lineal

Combinació afí ${\displaystyle tA+(1-t)B}$ de dos punts ${\displaystyle A,B\in \mathbb {A=R^{2}} }$ amb ${\displaystyle t\in [-{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}]}$. El conjunt de totes les combinacions afins (amb ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$) és la recta gris que uneix els dos punts: la varietat lineal més petita que conté ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$. Fixant punts auxiliars ${\displaystyle P\in \mathbb {A} }$ diferents s'obtenen les mateixes combinacions afins per a tot ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot p_{i}}=\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\cdots +\alpha _{n}p_{n},}$

amb ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb {K} }$ tals que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.}$

En general, les operacions producte per escalar i suma no estan definides al conjunt ${\displaystyle \mathbb {A} }$, de forma que, fixat un punt auxiliar ${\displaystyle {\bar {p}}\in \mathbb {A} ,}$ l'expressió anterior es defineix com

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot p_{i}}={\bar {p}}+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\vec {({\bar {p}}p_{i}}}})\in \mathbb {A} }$.

En aquesta expressió, les operacions suma i producte per escalar sí que estan definides, ja que s'apliquen a ${\displaystyle {\vec {{\bar {p}}p_{i}}},}$ elements d'un espai vectorial ${\displaystyle V}$.

L'expressió anterior està ben definida perquè és independient del punt auxiliar ${\displaystyle {\bar {p}}\in \mathbb {A} }$ escollit. És a dir, fixat un altre punt auxiliar ${\displaystyle p'\in \mathbb {A} }$ arbitrari, la combinació afí obtinguda per l'anterior definició és la mateixa:

${\displaystyle \forall {{\bar {p}},p'}\in \mathbb {A} \quad {\bar {p}}+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}})}=p'+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {p'p_{i}}}}),\quad si\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1\,}$

Volem veure que ${\displaystyle {\bar {p}}+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\vec {({\bar {p}}p_{i}}}})=p'+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\vec {(p'p_{i}}}})\Leftrightarrow {\vec {{\bar {p}}p'}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}}-{\vec {p'p_{i}}})}.\,}$ Vegem que és cert: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}}-{\vec {p'p_{i}}})}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p_{i}}}+{\vec {p_{i}p'}})}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\vec {{\bar {p}}p'}})}=({\vec {{\bar {p}}p'}})\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}={\vec {{\bar {p}}p'}}\cdot 1={\vec {{\bar {p}}p'}}.\,}$ Per tant, la definició de combinació afí de punts no depèn del punt auxiliar escollit per a calcular-la. ${\displaystyle \square }$

El concepte de combinació afí és fonamental en geometria euclidiana i geometria afí, perquè el conjunt de totes les combinacions afins d'un conjunt de punts formen la varietat lineal més petita que els conté. És a dir, si considerem el conjunt de punts ${\displaystyle S:=\left\{{p_{1},...,p_{m}}\right\}\subseteq \mathbb {A} }$ i denotem com ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ el conjunt de combinacion afins de ${\displaystyle S}$, aleshores

${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ és la varietat lineal més petita que conté a ${\displaystyle S.}$

Veiem que, clarament, ${\displaystyle S\subseteq \left\langle S\right\rangle }$, ja que ${\displaystyle p_{j}=p_{j}+\sum _{i=1,i\neq j}^{m}{0\cdot {\vec {p_{j}p_{i}}}}+1\cdot {\vec {p_{j}p_{j}}}=0\cdot p_{1}+...+1\cdot p_{j}+...+0\cdot p_{m}\in \left\langle S\right\rangle \quad \forall j=1,...,m}$. Per tant, només queda veure que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ és una varietat lineal i que no només conté a ${\displaystyle S}$, sinó que és la més petita que ho fa. En primer lloc, veurem que si considerem una varietat lineal ${\displaystyle U}$ tal que ${\displaystyle S\subseteq U}$, necessàriament ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle \subseteq U}$. A partir d'això obtenim que qualsevol varietat lineal que contingui a ${\displaystyle S}$ és més gran o igual que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$, i només restarà comprovar que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ és efectivament una varietat lineal per a poder afirmar l'enunciat. Sigui, doncs, ${\displaystyle U}$ una varietat lineal tal que ${\displaystyle S\subseteq U}$. En particular, ${\displaystyle p_{1}\in U\Rightarrow U=p_{1}+F}$, amb ${\displaystyle F\subseteq V}$ cert subespai vectorial. Prenem ${\displaystyle q\in \left\langle S\right\rangle }$ arbitrari. Si veiem que necessàriament ${\displaystyle q\in U}$ tindrem la inclusió que cercàvem. Per tant, utilitzant la definició anterior i prenent ${\displaystyle p_{1}}$ com a punt auxiliar, ${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}p_{i}=p_{1}+\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}{\vec {p_{1}p_{i}}}.}$ D'altra banda, com que ${\displaystyle S\subseteq U=p_{1}+F,\quad p_{i}=p_{1}+u_{i}}$, amb ${\displaystyle u_{i}\in F\quad \forall i=1,...,m\Rightarrow {\vec {p_{1}p_{i}}}=u_{i}\in F}$. Com que ${\displaystyle F}$ és un subespai vectorial, aleshores ${\displaystyle v:=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}{\vec {p_{1}p_{i}}}\in F\Rightarrow q=p_{1}+v,}$ amb ${\displaystyle v\in F\Rightarrow q\in p_{1}+F=U.}$ Com que això és cert per a un ${\displaystyle q\in \left\langle S\right\rangle }$ arbitrari, aleshores és cert per a tot ${\displaystyle q}$ i tenim ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle \subseteq U}$, com volíem demostrar. Només queda veure, doncs, que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ és, en efecte, una varietat lineal. Ho veiem provant que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle =p_{1}+[{\vec {p_{1}p_{2}}},{\vec {p_{1}p_{3}}},...,{\vec {p_{1}p_{m}}}]=:W}$, on ${\displaystyle [A]}$ denota el subespai generat pel conjunt de vectors ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle W}$ és clarament una varietat lineal perquè està construïda com un punt més un espai vectorial. ${\displaystyle (\subseteq )}$ Observem que ${\displaystyle p_{1}\in W}$, i, si ${\displaystyle i=2,...,m,}$ aleshores ${\displaystyle p_{i}=p_{1}+{\vec {p_{1}p_{i}}}\in W}$, perquè ${\displaystyle {\vec {p_{1}p_{i}}}\in [{\vec {p_{1}p_{2}}},...,{\vec {p_{1}p_{m}}}]}$. Així doncs, ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle W}$ i, pel que hem vist abans, ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle \subseteq W.}$ ${\displaystyle (\supseteq )}$ Sigui ${\displaystyle q\in W}$ arbitrari. Hem de veure que ${\displaystyle q\in \left\langle S\right\rangle }$. Per definició de ${\displaystyle W}$ i de combinació afí, ${\displaystyle q\in W\Rightarrow q=p_{1}+\sum _{i=2}^{m}{c_{i}{\vec {p_{1}p_{i}}}}=p_{1}+(1-\sum _{i=2}^{m}{c_{i}})\cdot {\vec {p_{1}p_{1}}}+\sum _{i=2}^{m}{c_{i}{\vec {p_{1}p_{i}}}}=(1-\sum _{i=2}^{m}{c_{i}})\cdot p_{1}+\sum _{i=2}^{m}{c_{i}p_{i}}\in \left\langle S\right\rangle .}$ La segona igualtat perquè ${\displaystyle {\vec {p_{1}p_{1}}}=0}$ i l'última pertinença per ser una combinació afí de ${\displaystyle \left\{p_{1},...,p_{m}\right\}=S.}$ Per tant, hem demostrat que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ és una varietat lineal i que, a més, és la més petita que conté a ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \square }$

Referències

• Gallier, Jean. Geometric Methods and Applications. Berlín, Nova York: Springer-Verlag, 2001. ISBN 978-0-387-95044-0. Veure capítol 2.