Conjugat

En matemàtiques, el conjugat d'un nombre complex ${\displaystyle z}$ és el nombre complex format de la mateixa part real que ${\displaystyle z}$ i de la part imaginària oposada.

Definició

El conjugat d'un nombre complex ${\displaystyle z=a+bi\,}$, on a i b són reals, és ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$.

En el pla complex, el punt d'afix ${\displaystyle {\bar {z}}}$ és el simètric del punt d'afix ${\displaystyle z\,}$ respecte de l'eix de les abscisses.

El mòdul del conjugat resta inalterat.

Hom pot definir una aplicació, anomenada conjugació, mitjançant

${\displaystyle {\begin{array}{r|ccc}c:&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\longmapsto &{\overline {z}}\end{array}}}$

La conjugació és una operació lineal contínua.

Propietats

Sia ${\displaystyle (z,w)\in \mathbb {C} ^{2}}$.

• ${\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|}$

• ${\displaystyle z+{\overline {z}}=2\,\Re (z)}$ (on ${\displaystyle \Re (z)=a}$ és la part real de ${\displaystyle z}$)

• ${\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\,\Im (z)}$ (on ${\displaystyle \Im (z)=b}$ és la part imàginaria de ${\displaystyle z}$)

• z és real si i només si ${\displaystyle {\bar {z}}=z}$

• z és imaginari pur si i només si ${\displaystyle {\bar {z}}=-z}$

• ${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$

• ${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}\times {\bar {w}}}$; per consegüent : ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}}$ si ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

• ${\displaystyle z{\overline {z}}=\left|z\right|^{2}}$; per consegüent, si ${\displaystyle z}$ és no nul, ${\displaystyle z^{-1}={{\overline {z}} \over {\left|z\right|^{2}}}}$

• ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}}$ si ${\displaystyle w\,}$ és no nul.