Propietat distributiva

En matemàtiques, es diu que un operador ${\displaystyle \circ }$ té la propietat distributiva sobre un operador ${\displaystyle \star }$, o que ${\displaystyle \circ }$ és distributiu respecte de ${\displaystyle \star }$ en un conjunt E si per a tots x, y, z de E, es tenen les propietats següents :^[1][2][3][4]

${\displaystyle x\circ (y\star z)=(x\circ y)\star (x\circ z)}$ (distributiva a la dreta)

${\displaystyle (x\star y)\circ z=(x\circ z)\star (y\circ z)}$ (distributiva a l'esquerra)

Il·lustració de la propietat distributiva dels enters positius.

Definició

Sigui ${\displaystyle A}$ un conjunt donat en què s'han definit dues operacions binàries (${\displaystyle \circ }$ ; ${\displaystyle \star }$). Llavors:

• L'operació ${\displaystyle \circ }$ és distributiva per l'esquerra respecte l'operació ${\displaystyle \star }$ si es compleix que donats tres elements ${\displaystyle a,b,c\in A}$ qualssevol, llavors

${\displaystyle a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)}$

• L'operació ${\displaystyle \circ }$ és distributiva per la dreta respecte l'operació ${\displaystyle \star }$ si es compleix que donats tres elements ${\displaystyle a,b,c\in A}$ qualssevol, llavors

${\displaystyle (b\star c)\circ a=(b\circ a)\star (c\circ a)}$

• L'operació ${\displaystyle \circ }$ és distributiva respecte l'operació ${\displaystyle \star }$ si és distributiva per la dreta i per l'esquerra,^[5] és a dir,

Noti's que si l'operació ${\displaystyle \circ }$ compleix la propietat commutativa, llavors les tres condicions són equivalents, i només cal que compleixi qualsevol d'elles per tal que les altres també es compleixin simultàniament.

Les lleis distributives es troben entre els axiomes per a anells (com l'anell d'enters) i cossos (com el dels nombres racionals). Aquí la multiplicacié és distributiva respecte la suma, però la suma no és distributiva respecte la multiplicació. Exemples d'estructures amb dues operacions que són cada una distributiva respecte de l'altra són les àlgebres booleanes com l'àlgebra de conjunts o l'àlgebra commutativa.

La multiplicació de sumes pot expressar-se de la següent manera: quan es multiplica una suma per una altra, es multiplica cada sumand d'una suma per cada sumand de l'altra suma (sense perdre de vista els signes) i llavors se sumen tots els productes resultants.

Exemples

Nombres reals

Per exemple, en el conjunt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dels reals, la multiplicació és distributiva respecte de la suma (és un dels axiomes de l'estructura d'anell):

${\displaystyle \forall \,(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}$

I igualment:^[6] ${\displaystyle (y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)}$

Del fet de passar del producte d'un nombre per la suma d'altres dos a la suma de dos productes se’n diu 'desenvolupar' l'expressió.

Si s'escriu la identitat en l'altre sentit, llavors se’n diu treure el factor comú:^[7][8][9]

${\displaystyle (a\times b)+(a\times c)=a\times (b+c)}$

Aquí s'ha tret el factor comú a.

Primer exemple (numèric)

${\displaystyle 2\times (5+3)=2\times 5+2\times 3\ (=16)}$

És a dir, per calcular ${\displaystyle 2\cdot 8}$, es pot multiplicar primer ${\displaystyle 2\cdot 5}$ i ${\displaystyle 2\cdot 3}$ i sumar els resultats intermedis. La multipicació realitzada escrivint també es basa en la llei distributiva.

Segon exemple (amb variables)

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

Tercer exemple (amb dues sumes)

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$

En aquest cas, la propietat distributiva s'aplica dues vegaes, i no importa quin parèntesi es resolgui primer.

Quart exemple

En aquest cas, s'utilitza la propietat distributiva al revés respecte dels exemples anteriors. Sigui $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$

Atès que el factor ${\displaystyle 6a^{2}b}$ es troba en tots dos sumands, es pot extreure com a factor comú. Per la qual cosa, aplicant la propietat distributiva s'obté $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$

Matrius

La llei distributiva és vàlida per a la multiplicació de matrius. És a dir,

${\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C}$

per a totes les matrius ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle l\times m}$ i per a una matriu ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle m\times n}$ així com també

${\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C}$

per a tota matriu ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle l\times m}$ i matrius ${\displaystyle B,C.}$ ${\displaystyle m\times n}$

Com que propietat commutativa no és vàlida per a la multiplicació de matrius, la segona llei no es deriva de la primera llei. En aquest cas, són dues lleis diferents.

Nombres enters de Gauss

Entre els nombres complexos, un cas interessant és el dels enters gaussians, que s'escriuen en la forma z = n + mi on n i m són nombres enteres. S'utilitza la distributivitat de la multipliciació complexa per demostrar per exemple que (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i, és a dir que 1 + i és l'arrel quadrada de 2i. De forma més general, es pot demostrar que el producte de dos enters gaussians és també un enter gaussià.

Altres exemples

• La multiplicació de nombres ordinals, en canvi, és només distributiva per l'esquerra, no per la dretea.
• El producte vectorial és distributiu tant per la dreta com per l'esquerra respecte de la suma de vectors, tot i que no és commutativa.
• La unió de conjunta és distributiva respecte de la intersecció, i la intersecció és distributiva respecte de la unió.
• La disjunció ("or") és distributiva respecte de la conjunció lògica ("and"), i vice versa.
• Per als nombres reals (i per tot conjunt totalment ordenat), l'operació màxim és distributiu respecte de l'operació mínim, i vice versa:

${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ i}}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}$

• Per als enters, el màxim comú divisor és distributiu respecte del mínim comú múltiple, i vice versa:

${\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ i }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}$

• Per als nombres reals, la suma es distribueix respecte l'operadoció màxim, i també respecte l'operació mínim:

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ i }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}$

• Per a la multiplicació binomial, la distribució se sol anomenar mètode FOIL^[10] (First terms ${\displaystyle ac,}$ Outer ${\displaystyle ad,}$ Inner ${\displaystyle bc,}$ and Last ${\displaystyle bd}$) such as: ${\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}$
• En tots els semianells, inclosos els nombres complexos, els quaternions, els polinomis, i les matrius, la multiplicació es distribueix respecte la suma: ${\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}$
• En tota àlgebres sobre un cos, inclosos els octonions i altres àlgebres no associatives, la multiplicació és distributiva respecte la suma.

Distributivitat i arrodoniment

En l'aritmètica aproximada, com l'aritmètica de punt flotant, la propietat distributiva de la multiplicació (i divisió) sobre la suma pot fallar degut a les limitacions de la precisió aritmètica. Per exemple, la identitat ${\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}$ falla en l'aritmètica decimal, independentment del nombre de dígits significatius. Mètodes com l'arrodoniment bancari poden ajudar en alguns casos, igual que augmentar la precisió utilitzada, però en última instància, alguns errors de càlcul són inevitables.

En anells i altres estructures

La distributivitat apareix habitualment en semianells, especilament en els casos particulars dels anells i dels reticles distributius.

Un semianell té dues operacions binàries, sovint denotades ${\displaystyle \,+\,}$ i ${\displaystyle \,*,}$ i tenen el requisit que ${\displaystyle \,*\,}$ sigui distributiu respecte ${\displaystyle \,+.}$

Un anell és un semianell amb inverses additives.

Un reticle és un altre tipus d'estructura algebraica amb dues operacions binàries, ${\displaystyle \,\land {\text{ i }}\lor .}$ Si alguna d'aquestes operacions és distributiva respecte de l'altra (per exemple, ${\displaystyle \,\land \,}$ és distributiva respecte de ${\displaystyle \,\lor }$), llavors l'afirmació contrària també és certa (és a dir, ${\displaystyle \,\lor \,}$ és distributiu respecte de ${\displaystyle \,\land \,}$), i el reticle s'anomena distributiu.

Es pot interpretar una àlgebra Booleana tan com un tipus especial d'anell (un anell booleà) o com un tipus especial de reticle distributiu (un reticle booleà). Cada interpretació és responsable de lleis distributives diferents en l'àlgebra booleana.

Les estructures similars sense lleis distributives són els quasi-anells i els quasi-cossos, en lloc dels anells i els anells de divisió. Sovint se'n defeixen les operacions com a distributives per la dreta però no per l'esquerra.

Generalitzacions

En diverses àrees de les matemàtiques es consideren lleis de distributiviatat generalitzades. Això pot implicar el debilitament de les condicions anteriors o l'extensió a operacions infinites. Especialment en teoria de l'ordre, apareixen nombroses variants importants de la distributivitat, algunes de les quals inclouen operacions infinites, com la llei distributiva infinita; altres es defineixen en presència de tan sols una operació binària, com les definicions corresponents. Això també inclou la noció d'una xarxa completament distributiva.

En presència d'una relació d'ordenació, també es poden debilitar les igualtats anteriors, substituint ${\displaystyle \,=\,}$ per ${\displaystyle \,\leq \,}$ o ${\displaystyle \,\geq .}$ Naturalment, això donarà lloc a conceptes significatius només en algunes situacions. Una aplicació d'aquest principi és la noció de subdistributivitat.

En teoria de categories, si ${\displaystyle (S,\mu ,\nu )}$ i ${\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}$ són mònades en una categoria ${\displaystyle C,}$ una llei distributiva ${\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ és una transformació natural ${\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}$ tal que ${\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}$ és un mapa lax de mònades ${\displaystyle S\to S}$ i ${\displaystyle (S,\lambda )}$ és un mapa colax de mònades ${\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}$ Aquestes són exactament les dades necessàries per definir una estructura de mònada sobre ${\displaystyle S^{\prime }.S}$: el mapa de multiplicació és ${\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S}$ i el mapa unitari és ${\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .}$.

També s'ha proposat una llei distributiva generalitzada en l'àmbit de la teoria de la informació.

Antidistributivitat

La ubiqua identitat que relaciona els inversos amb l'operació binària en qualsevol grup, és a dir ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}$ que es pren com a axioma en el context més general d'un semigrup amb involució, s'ha anomenat de vegades una propietat antidistributiva (de la inversió com a operació unària).^[11]

En el context d'un quasi anell, que elimina la commutivitat del grup escrit additivament i assumeix només la distributivitat per un costat, es pot parlar d'elements distributius (pels dos costats) però també d'elements antidistributius. Aquests últims inverteixen l'ordre de l'addició (no commutativa); suposant una anell per l'esquerra (és a dir, que tots els elements es distribueixen quan es multipliquen per l'esquerra), llavors un element antidistributiu ${\displaystyle a}$ inverteix l'ordre de l'addició quan es multiplica per la dreta: ${\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}$^[12]

En l'estudi de la lògica proposicional i l'àlgebra de Boole, el terme llei antidistributiva s'utilitza de vegades per denotar l'intercanvi entre la conjunció i la disjunció quan la implicació és un factor sobre elles:^[13] $${\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}$$ $${\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}$$

Aquestes dues tautologies són una conseqüència directa de la dualitat en les lleis de De Morgan.