Propietat distributiva

En matemàtiques, es diu que un operador ${\displaystyle \circ }$ té la propietat distributiva sobre un operador ${\displaystyle \star }$, o que ${\displaystyle \circ }$ és distributiu respecte de ${\displaystyle \star }$ en un conjunt E si per a tots x, y, z de E, es tenen les propietats següents :^[1][2][3][4]

${\displaystyle x\circ (y\star z)=(x\circ y)\star (x\circ z)}$ (distributiva a la dreta)

${\displaystyle (x\star y)\circ z=(x\circ z)\star (y\circ z)}$ (distributiva a l'esquerra)

Il·lustració de la propietat distributiva dels enters positius.

En el conjunt R

Per exemple, en el conjunt ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dels reals, la multiplicació és distributiva respecte de la suma (és un dels axiomes de l'estructura d'anell):

${\displaystyle \forall \,(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)}$

I igualment:^[5] ${\displaystyle (y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)}$

Del fet de passar del producte d'un nombre per la suma d'altres dos a la suma de dos productes se’n diu 'desenvolupar' l'expressió.

Si s'escriu la identitat en l'altre sentit, llavors se’n diu treure el factor comú:^[6][7][8]

${\displaystyle (a\times b)+(a\times c)=a\times (b+c)}$

Aquí s'ha tret el factor comú a.

Exemple numèric

${\displaystyle 2\times (5+3)=2\times 5+2\times 3\ (=16)}$