Domini (matemàtiques)

En matemàtiques, el domini d'una funció matemàtica ${\displaystyle \,f:X\to Y}$ és el conjunt dels valors de ${\displaystyle \,X}$ pels quals la funció està definida.^[1] Es representa com ${\displaystyle \,D_{f}}$ o ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$ i es defineix formalment com:^[2]

${\displaystyle D_{f}=\;\left\{x\in X\mid \exists y\in Y:f(x)=y\right\}}$

El conjunt ${\displaystyle \,X}$ és el domini de definició de ${\displaystyle \,f}$. Direm domini de definició d'una funció al conjunt d'existència de l'esmentada funció, és a dir, els valors per als quals la funció està definida. El conjunt ${\displaystyle \,Y}$ és el codomini de ${\displaystyle \,f}$.^[3][4]

Propietats

Donades dues funcions reals

${\displaystyle f\colon X_{1}\to \mathbb {R} \,\qquad {\mbox{i}}\quad g\colon X_{2}\to \mathbb {R} \,}$

Es tenen les següents propietats:

1. ${\displaystyle D_{f+g}=X_{1}\cap X_{2}}$
2. ${\displaystyle D_{f-g}=X_{1}\cap X_{2}}$
3. ${\displaystyle D_{f\cdot g}\ =X_{1}\cap X_{2}}$
4. ${\displaystyle D_{f/g}=\{x\in X_{1}\cap X_{2}\mid g(x)\neq 0\}}$

Exemples

Alguns dominis de funcions reals de variable real:^[2]

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. El domini d'aquesta funció és ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$. El domini d'aquesta funció és ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace }$.

${\displaystyle f(x)=\log(x)\,\!}$. El domini d'aquesta funció és ${\displaystyle \left]0,+\infty \right[}$.

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$. El domini d'aquesta funció és ${\displaystyle \left\lbrack 0,{+}\infty \right[}$.

Anàlisi de reals i complexes

En l'anàlisi real i complex, el domini és un subconjunt obert connexió d'un espai vectorial real i complex. En les equacions en derivades, un domini és un subconjunt obert connectat per l'espai euclidià ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, on es planteja el problema p.e. on la funció es defineix com desconeguda.