Equivalència lògica

En lògica i matemàtiques, enunciats ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ es diu que són lògicament equivalents si són demostrables entre si sota un conjunt d’axiomes,^[1] o tenen el mateix valor de veritat en tots els models.^[2] L'equivalència lògica de ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ de vegades s'expressa com ${\displaystyle p\equiv q}$, ${\displaystyle p::q}$,^[3] ${\displaystyle {\textsf {E}}pq}$, o ${\displaystyle p\iff q}$, en funció de la notació que s'utilitzi. No obstant això, aquests símbols també s'utilitzen per a l'equivalència material, de manera que la interpretació adequada dependria del context. L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material, tot i que els dos conceptes estan intrínsecament relacionats.

Equivalències lògiques

En lògica, existeixen moltes equivalències lògiques comunes i sovint es llisten com a lleis o propietats. Les següents taules il·lustren algunes d’aquestes.

Equivalències lògiques generals^[3]

${\displaystyle p\wedge \top \equiv p}$ ${\displaystyle p\vee \bot \equiv p}$	Lleis d’identitat
${\displaystyle p\vee \top \equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \bot \equiv \bot }$	Lleis de dominació
${\displaystyle p\vee p\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge p\equiv p}$	Lleis idempotents o de tautologia
${\displaystyle \neg (\neg p)\equiv p}$	Llei de doble negació
${\displaystyle p\vee q\equiv q\vee p}$ ${\displaystyle p\wedge q\equiv q\wedge p}$	Lleis commutatives
${\displaystyle (p\vee q)\vee r\equiv p\vee (q\vee r)}$ ${\displaystyle (p\wedge q)\wedge r\equiv p\wedge (q\wedge r)}$	Lleis associatius
${\displaystyle p\vee (q\wedge r)\equiv (p\vee q)\wedge (p\vee r)}$ ${\displaystyle p\wedge (q\vee r)\equiv (p\wedge q)\vee (p\wedge r)}$	Lleis distributives
${\displaystyle \neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q}$ ${\displaystyle \neg (p\vee q)\equiv \neg p\wedge \neg q}$	Lleis de De Morgan
${\displaystyle p\vee (p\wedge q)\equiv p}$ ${\displaystyle p\wedge (p\vee q)\equiv p}$	Lleis d’absorció
${\displaystyle p\vee \neg p\equiv \top }$ ${\displaystyle p\wedge \neg p\equiv \bot }$	Lleis de negació

Equivalències lògiques que impliquen enunciats condicionals

1. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg p\vee q}$
2. ${\displaystyle p\implies q\equiv \neg q\implies \neg p}$
3. ${\displaystyle p\vee q\equiv \neg p\implies q}$
4. ${\displaystyle p\wedge q\equiv \neg (p\implies \neg q)}$
5. ${\displaystyle \neg (p\implies q)\equiv p\wedge \neg q}$
6. ${\displaystyle (p\implies q)\wedge (p\implies r)\equiv p\implies (q\wedge r)}$
7. ${\displaystyle (p\implies q)\vee (p\implies r)\equiv p\implies (q\vee r)}$
8. ${\displaystyle (p\implies r)\wedge (q\implies r)\equiv (p\vee q)\implies r}$
9. ${\displaystyle (p\implies r)\vee (q\implies r)\equiv (p\wedge q)\implies r}$

Equivalències lògiques que impliquen bicondicionals

1. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\implies q)\wedge (q\implies p)}$
2. ${\displaystyle p\iff q\equiv \neg p\iff \neg q}$
3. ${\displaystyle p\iff q\equiv (p\wedge q)\vee (\neg p\wedge \neg q)}$
4. ${\displaystyle \neg (p\iff q)\equiv p\iff \neg q}$

Exemples

En lògica

Les següents afirmacions són lògicament equivalents:

1. Si Lisa és a Dinamarca, llavors és a Europa (una declaració del formulari ${\displaystyle d\implies e}$).
2. Si Lisa no és a Europa, llavors no és a Dinamarca (una declaració del formulari ${\displaystyle \neg e\implies \neg d}$).

Sintàcticament, (1) i (2) són derivables entre si mitjançant les regles de contraposició i doble negació. Semànticament, (1) i (2) són certes exactament en els mateixos models (interpretacions, valoracions); és a dir, aquells en què Lisa és a Dinamarca és falsa o Lisa és a Europa és cert.

(Cal tenir en compte que en aquest exemple, se suposa la lògica clàssica. Algunes lògiques no clàssiques no consideren que (1) i (2) siguin lògicament equivalents.)

En matemàtiques

En matemàtiques, dos enunciats ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ Se sol dir que són lògicament equivalents, si es poden demostrar entre si donant un conjunt d’axiomes i pressupòsits. Per exemple, la declaració " ${\displaystyle n}$ és divisible per 6 "es pot considerar equivalent a l'enunciat" ${\displaystyle n}$ és divisible per 2 i 3 ", ja que es pot demostrar el primer a partir del segon (i viceversa) utilitzant alguns coneixements de la teoria bàsica de números.^[4]

Relació amb l'equivalència material

L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material. Fórmules ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ són lògicament equivalents si i només si l'enunciat de la seva equivalència material (${\displaystyle p\iff q}$) és una tautologia.^[5]

L'equivalència material de ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ (sovint escrit com ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$) és en si mateixa una altra afirmació en el mateix llenguatge objecte que ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$. Aquesta afirmació expressa la idea "' ${\displaystyle p}$ si i només si ${\displaystyle q}$ '". En particular, el valor de veritat de ${\displaystyle p\leftrightarrow q}$ pot canviar d’un model a un altre.

D'altra banda, l'afirmació que dues fórmules són lògicament equivalents és una afirmació en metallenguatge, que expressa una relació entre dues afirmacions ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$. Les afirmacions són lògicament equivalents si, en cada model, tenen el mateix valor de veritat.