Força electromotriu

La força electromotriu (fem,^[1][2] FEM o ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$) és una característica de qualsevol generador elèctric, bateria elèctrica, dispositiu termoelèctric o transformador elèctric; es defineix com el treball que el dispositiu elèctric realitza per fer passar pel seu interior una unitat de càrrega positiva, del pol negatiu al pol positiu, dividit pel valor d'aquesta càrrega. Per a un dispositiu donat, si una càrrega Q passa al seu través i guanya una energia E, la fem neta per al dispositiu seria l'energia guanyada per unitat de càrrega, és a dir E/Q. La fem es mesura en volts (V), o, cosa que és el mateix, en newton * metre / coulomb (N*m/C), correspondria al voltatge induït pel dispositiu en qüestió.^[3]

L'error de Volta d'etiquetar-la com a "força" és un nom erroni que persisteix com a relíquia històrica.^[4]

La fem és tota causa capaç de mantenir una diferència de potencial entre dos punts d'un circuit obert o de produir un corrent elèctric en un circuit tancat. És una característica de cada generador elèctric. Amb caràcter general pot explicar-se per l'existència d'un camp electroestàtic conservatiu E_cs la circulació de la qual defineix el voltatge induït del generador:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{A}^{B}{\boldsymbol {E}}_{\mathrm {cs} }\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\ ,}$

on ‘·’ denota el producte escalar.

Una analogia electrònica-hidràulica pot veure la fem com el treball mecànic realitzat a l'aigua per una bomba, que dona lloc a una diferència de pressió (anàloga al voltatge).^[5]

En inducció electromagnètica, la fem pot definir-se al voltant d'una espira tancada d'un conductor com el treball electromagnètic que es realitzaria sobre una càrrega elèctrica (com un electró) si es desplacés una vegada al voltant de l'espira.^[6]

Per a dispositius de dos terminals modelats com un circuit equivalent de Thévenin, es pot mesurar una emf equivalent com la tensió en circuit obert entre les dues terminals. Aquesta emf pot conduir un corrent elèctric si es connecta un circuit extern als terminals, i en aquest cas el dispositiu es converteix en la font de tensió d'aquest circuit.

fem d'un generador

Circuit elèctric. La pila genera la força electromotriu necessària perquè funcioni la bombeta

Dins d'un generador elèctric es produeix un procés que porta les càrregues positives cap al pol positiu i les negatives cap al negatiu. Aquest procés s'oposa a la repulsió entre les càrregues elèctriques del mateix signe (Llei de Coulomb), i pot ser de natura electroquímica, electromagnètica, termoelèctric, fotoelèctric, piezoelèctric, o qualsevol altra.

El treball W necessari per al transport de les càrregues cap al pol respectiu és directament proporcional a la quantitat de càrrega Q; la força electromotriu ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ d'una font es defineix com la quantitat de treball fet per un agent extern per unitat de càrrega:

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} Q}}\,\!}$.

A un circuit tancat, la diferència de potencial ΔU que es mesura als pols d'un generador real sempre és lleugerament inferior a la força electromotriu del generador per efecte de la resistència interna r_i del generador:

${\displaystyle \Delta U={\mathcal {E}}-ir_{i}\,\!}$.

Per convenció parlem de pol positiu i pol negatiu, i considerem que el pol positiu té un potencial superior al negatiu. Si considerem una pila d'1,5 volts, haurem d'entendre que hi ha 1,5 V de diferència entre el potencial del pol positiu i el del negatiu, aquests 1,5 V serà la fem de la pila. El treball necessari per moure les càrregues a l'interior de la pila seria:

W = Q * fem = 1C * 1,5V = 1,5 joules

Si utilitzem aquesta pila en un circuit que uneixi els dos pols, per tal de transportar una càrrega elèctrica Q d'un coulomb des del pol positiu fins al pol negatiu a través d'un circuit exterior també caldrà un treball o consum d'energia.

La fem seria la causa del moviment de les càrregues dins de la pila, mentre que la diferència de potencial U, que mesurarien entre dos punts del circuit seria la causa del moviment de les càrregues a través del circuit extern connectat a la pila. La fem i la diferència de potencial poden ser molt similars si mesurem la diferència de potencial directament sobre els pols de la pila, però la segona magnitud dependrà del circuit al qual es connecti la pila i variarà en funció de les seves característiques.

Força electromotriu induïda

L'existència de la fem induïda a un circuit tancat es deriva d'una de les equacions de Maxwell, la llei de Faraday, és igual a la variació del flux magnètic Φ que el travessa per unitat de temps:

La forma local d'aquesta equació és :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

Que per a un contorn conductor C esdevé:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d\Phi _{B} \over dt}}$

on ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ representa la fem.

El signe negatiu és degut al fet que la força electromotriu induïda s'oposa a la variació del flux magnètic segons la llei de Lenz.

Definicions formals

Dins d'una font de fem (com ser una bateria) que es troba en circuit obert, ocorre una separació de càrrega entre la terminal negativa N i la terminal positiva P. Això dona lloc a un camp electroestàtic ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{\mathrm {circuit\ obert} }}$ que apunta de P a N, on la fem de la font ha de ser capaç d'induir un corrent de N a P quan la hi connecta a un circuit. Això porta a Max Abraham^[7] a introduir el concepte d'un camp no electroestàtic ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}'}$ que existeix només dins de la font de fem. En el cas d'un circuit obert, ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}'=-{\boldsymbol {E}}_{\mathrm {circuit\ obert} }}$, mentre que quan la font es troba connectada a un circuit el camp elèctric ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ dins de la font canvia però ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}'}$ roman essencialment inalterat. En el cas d'un circuit obert, el camp electroestàtic conservatiu creat per la separació de càrrega cancel·la en forma exacta les forces que produeixen la fem.^[8] Expressant-ho en llenguatge matemàtic:

$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathrm {font} }=\int _{N}^{P}{\boldsymbol {E}}'\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\int _{N}^{P}{\boldsymbol {E}}_{\mathrm {circuit\ obert} }\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=V_{P}-V_{N}\ ,}$$

on ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{\mathrm {circuit\ obert} }}$ és el camp electroestàtic conservatiu creat per la separació de càrrega associada amb la fem, ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ és un element del camí de la terminal N a la terminal P, '${\displaystyle \cdot }$' representa el producte escalar de vectors, i ${\displaystyle V}$ és el potencial elèctric escalar.^[9] Aquesta fem és el treball realitzat en una càrrega unitària pel camp no electroestàtic de la font ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}'}$ quan la càrrega es desplaça de N a P.

Quan la font es connecta a una càrrega, la seva fem és ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathrm {font} }=\int _{N}^{P}{\boldsymbol {E}}'\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\ ,}$ i ja no té una relació simple amb el camp elèctric ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ dins d'ella.

En el cas d'un camí tancat en presència d'un camp magnètic variable, la integral del camp elèctric al voltant d'un loop tancat (estacionari) ${\displaystyle C}$ pot no ser nul·la. Llavors, la "fem induïda" (sovint denominat "voltatge induït") en el loop és:^[10]

$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{C}=\oint _{C}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d\Phi _{C}}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}\oint _{C}{\boldsymbol {A}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\ ,}$$

on ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ és el camp elèctric total, conservatiu i no conservatiu, i la integral es realitza sobre una corba tancada arbitrària però estacionària ${\displaystyle C}$ a través del qual hi ha un flux magnètic variable ${\displaystyle \Phi _{C}}$, i ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ és el potencial vectorial. El camp electroestàtic no contribueix a la fem neta al voltant d'un circuit perquè la part electroestàtica del camp elèctric és conservativa (és a dir, el treball realitzat contra el camp al voltant d'una trajectòria tancada és zero, veure llei de Kirchhoff per al voltatge, la qual cosa és vàlid, sempre que els elements del circuit romanguin en repòs i s'ignori la radiació^[11]). És a dir, la "fem induïda" (com la emf d'una bateria connectada a una càrrega) no és una "tensió" en el sentit d'una diferència de potencial elèctric escalar.

En el loop ${\displaystyle C}$ és un conductor que transporta corrent ${\displaystyle I}$ en la direcció d'integració al llarg del loop, i el flux magnètic es deu al corrent, es té que ${\displaystyle \Phi _{B}=LI}$, on ${\displaystyle L}$ és l'autoinductància del loop. Addicionalment, el loop inclou una espira que es extiene del punt 1 al 2, de manera tal que el flux magnètic en gran manera està situat en aquesta regió, és comuna referir-se a aquesta regió com un inductor, i considerar que el seu fem està situada en aquesta regió. Llavors es pot considear un loop distint ${\displaystyle C'}$ que consisteix d'una espira conductora des d'1 a 2, i una línia imaginària des del centre de l'espira des de 2 a 1. El flux magnètic, i fem, en el loop ${\displaystyle C'}$ és essencialment el mateix que en el loop ${\displaystyle C}$:$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{C}={\mathcal {E}}_{C'}=-{\frac {d\Phi _{C'}}{dt}}=-L{\frac {dI}{dt}}=\oint _{C}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{1}^{2}{\boldsymbol {E}}_{\mathrm {conductor} }\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}-\int _{1}^{2}{\boldsymbol {E}}_{\mathrm {center\ line} }\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\ .}$$

En el cas d'un bon conductor, ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{\mathrm {conductor} }}$ és molt petit, per la qual cosa una bona aproximació és, $${\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}=\int _{1}^{2}{\boldsymbol {E}}_{\mathrm {linia\ central} }\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=V_{1}-V_{2}\ ,}$$ on ${\displaystyle V}$ és el potencial elèctric escalar al llarg de la línia entre els punts 1 i 2.

Per tant, es pot associar una "caida de voltatge" efectiva ${\displaystyle L\ dI/dt}$ amb un inductor (a pesar que el nostre enteniment bàsic de la fem induïda es basa en el potencial vector en comptes d'en el potencial escalar), i considerar-ho com un element de càrrega en la llei de voltatge de Kirchhoff,

$${\displaystyle \sum {\mathcal {E}}_{\mathrm {font} }=\sum _{\mathrm {elements\ carrega} }\mathrm {caida\ voltatge} ,}$$

on ara la fem induïda no es considera una fem font.^[12]

Aquesta definició pot estendre's a fonts arbitràries de fem i trajectòries ${\displaystyle C}$ desplaçant-se amb una velocitat ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ a través del camp elèctric ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ i el camp magnètic ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$:^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}&=\oint _{C}\left[{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}\right]\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\\&\qquad +{\frac {1}{q}}\oint _{C}\mathrm {Forces\ quimiques\ efectives\ \cdot } \ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{q}}\oint _{C}\mathrm {Forces\ termiques\ efectives\ \cdot } \ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\ ,\end{aligned}}}$$

la qual és en alguna mesura una equació conceptual, perquè la determinació de les "forces efectives" és difícil. El terme ${\displaystyle \oint _{C}\left[{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {B}}\right]\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$ sovint és denominat un "fem de moviment".

Unitats de mesura

El voltatge (també dit diferència de potencial o tensió) es defineix com el treball que el generador realitza per a passar per dins la unitat de càrrega negativa del pol negatiu al positiu, dividit pel valor en coulombs d'aquesta càrrega, això és: joule/coulomb. Normalment, es mesura en volts (V) que equival a joules entre coulomb (J/C), però aquestes són unitats derivades del sistema internacional. En el sistema internacional les seves unitats bàsiques són metre quadrat per quilogram partit per segon al cub per ampere: m²·kg·s^-3·A^-1.

Justificació i causa

Això es justifica en el fet que quan circula aquesta unitat de càrrega pel circuit exterior al generador, des del pol positiu al negatiu, és necessari fer un treball o consum d'energia (mecànica, química, etcètera) per a transportar-la per l'interior des d'un punt de menor potencial (el pol negatiu al qual arriba) a un altre de major potencial (el pol positiu pel qual arriba).

Pel que queda que:

${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} q}}\,\!}$.

Relació amb altres parts de la física

Es relaciona amb la diferència de potencial ${\displaystyle \Delta U}$ entre els borns i la resistència interna ${\displaystyle r\,\!}$ del generador mitjançant la fórmula ${\displaystyle {\displaystyle \Delta U={\mathcal {I}}-ir_{i}\,\!}}$ (el producte ${\displaystyle anar\,\!}$ és la caiguda de potencial que es produeix a l'interior del generador a causa de la resistència òhmica que ofereix al pas del corrent). El ε d'un generador coincideix amb la diferència de potencial en circuit obert.

Aplicacions pràctiques

L'aplicació més important del moviment relatiu es veu en els generadors elèctrics. En un generador de corrent, els electroimants estan disposats en una carcassa cilíndrica. Els conductors, en forma de bobines, es giren sobre un nucli de tal manera que les bobines contínuament tallen les línies de camp magnètic. El resultat és un voltatge induït en cadascun dels conductors. Aquests conductors estan connectats en sèrie, i els voltatges induïts se sumen per a produir voltatge de sortida del generador.

Tota central capaç de produir energia elèctrica, independentment de la font de la qual provingui, utilitza aquestes lleis físiques. També, la llei és útil al revés, és a dir, a partir d'energia elèctrica es pot produir moviment, un clar exemple són els motors elèctrics. Això és possible a causa de la simple relació entre la diferència de potencial i el treball.

${\displaystyle W=-\Delta V_{ab}}$

Aquesta llei no és específica de ε. Qualsevol canvi en el voltatge, sigui induït o no, pot generar treball. I qualsevol treball pot generar una diferència de potencial (cal recordar que la diferència de potencial, voltatge i tensió són sinònims).