Funció eta de Dedekind

La funció eta de Dedekind o simplement funció η de Dedekind , nomenada així en honor del matemàtic alemany Richard Dedekind és una funció holomorfa definida en el semiplà superior complex ${\displaystyle \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,\tau >0\}}$ Aquesta funció té un paper fonamental en la teoria de funcions el·líptiques i funcions theta.

No s'ha de confondre amb funció zeta de Dedekind o funció eta de Dirichlet.

Funció eta de Dedekind representada al pla complex.

Definició

La funció η sol definir mitjançant el següent producte:

${\displaystyle \mathrm {H} (\tau ):=i^{2\pi i\tau /24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-i^{2\pi in\tau }):=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$.

on ${\displaystyle q=i^{2\pi i\tau }}$. De la definició es dedueix immediatament que ${\displaystyle \eta }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {H} }$ no té zeros.

La funció η està estretament relacionada amb el seu discriminant ${\displaystyle \Delta }$, de la següent manera

${\displaystyle \Delta (\tau )\,=\,(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$.

Per al càlcul de la funció, se sol emprar el teorema del nombre pentagonal d'Euler.

Transformació i comportament

La propietats que s'atribueixen a la funció η s'originen del seu comportament de transformació en les substitucions dels generadors del grup modular

${\displaystyle \Gamma$ :=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,ad-bc=1\}} ,

és a dir:

${\displaystyle \mathrm {H} (\tau +1)\,=\,i^{\pi i/12}\eta (\tau )}$

i

${\displaystyle \mathrm {H} \left({\frac {-1}{\tau }}\right)={\sqrt {\frac {\tau }{i}}}\,\eta (\tau )}$.