Funció homogènia

En matemàtica, una funció homogènia és una funció que presenta un comportament multiplicador d'escala interessant: si tots els arguments es multipliquen per un factor constant, llavors el valor de la funció resulta ser un cert nombre de vegades el factor multiplicador elevat a una potència. Aquesta potència és el grau de la funció homogènia (vegeu #Definició formal).

Definició formal

Suposem una funció la definició de la qual és ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$ entre dos espais vectorials sobre el mateix cos ${\displaystyle F}$. Llavors es diu que ${\displaystyle f\,}$ és homogènia de grau k si:

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} ),\qquad \forall \alpha \in F\neq 0,\quad \forall \mathbf {v} \in V}$

Exemples

Les funcions lineals

Qualsevol funció lineal ${\displaystyle f:V\rightarrow W\,}$ és homogènia de grau 1, ja que per definició es té:

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$

per a tot ${\displaystyle \alpha \in F}$ i ${\displaystyle \mathbf {v} \in V\qquad \qquad }$. De la mateixa manera, qualsevol funció multilineal ${\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W\qquad \qquad }$ és homogènia de grau n, per definició.

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$

per a tot ${\displaystyle \alpha \in F}$ i ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}}$. Se segueix que la n-èsima derivada de Fréchet d'una funció ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ entre dos espais de Banach ${\displaystyle X\,}$ i ${\displaystyle Y\,}$ és homogènia de grau n.

Polinomis homogenis

Els monomis en ${\displaystyle n}$ variables reals defineixen funcions homogènies ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. Per exemple,

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,}$

és homogènia de grau 10, ja que:

${\displaystyle (\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}\,}$

Un polinomi homogeni és un polinomi fet d'una suma de monomis del mateix grau. Per exemple,

${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,}$

és un polinomi homogeni de grau 5.

Propietats

• El teorema d'Euler sobre funcions homogènies estableix:

Suposem que una funció ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ és infinitament diferenciable. Llavors f és homogènia de grau k si i només si: ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad }$.

• Suposem que ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ és diferenciable i homogènia de grau k. Llavors les seves derivades parcials de primer ordre ${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$ són funcions homogènies de grau k-1.

Les demostracions d'aquests dos resultats són semblants. Per demostrar el segon, s'escriu ${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ i es pren l'equació

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )}$

Definint ${\displaystyle x_{i}=\alpha y_{i}\,}$ i derivant respecte a ${\displaystyle y_{i}\,}$, trobem per la regla de la cadena que:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(\alpha y_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y_{i}}}(y_{i})}$

I per tant:

${\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )}$

I finalment:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {y} )}$

Aplicació a les EDOs

Si ${\displaystyle I\,}$ i ${\displaystyle J\,}$ són funcions homogènies del mateix grau, la substitució ${\displaystyle v=y/x}$ converteix l'equació diferencial ordinària (EDO)

${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$

en l'equació diferencial separable:

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}$