Hipersuperfície

En geometria, una hipersuperfície és una generalització dels conceptes d'hiperpla, corba plana i superfície. Una hipersuperfície és una varietat o una varietat algebraica de dimensió n − 1, que està incrustada en un espai ambiental de dimensió n, generalment un espai euclidià, un espai afí o un espai projectiu.^[1] Les hipersuperfícies comparteixen, amb superfícies en un espai tridimensional, la propietat de ser definides per una única equació implícita, almenys localment (a prop de tots els punts) i de vegades globalment.^[2]

Hipersuperfície amb funció f(x,y)= 3x^2-y^2-9x+1

Hipersuperfície amb funció f(x,y)= -3/25x^2 + 1/25y^2

Una hipersuperfície en un espai (euclidià, afí o projectiu) de dimensió dos és una corba plana. En un espai de dimensió tres, és una superfície.

Per exemple, l'equació:

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0}$

defineix una hipersuperfície algebraica de dimensió n − 1 a l'espai euclidià de dimensió n. Aquesta hipersuperfície també és una varietat llisa i s'anomena hiperesfera o (n – 1) -esfera.

Una hipersuperfície que és una varietat llisa s'anomena hipersuperfície llisa.En Rⁿ, una hipersuperfície llisa és orientable.^[3] Cada hipersuperfície llisa compacta connectada és un conjunt de nivells i separa R ⁿ en dos components connectats; això està relacionat amb el teorema de separació de Jordan i Brouwer.^[4]