Matriu unitària

En matemàtiques, una matriu quadrada complexa U és unitària si

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I\,}$

on I és la matriu identitat i U * és la transposada conjugada de U.

L'anàloga real d'una matriu unitària és una matriu ortogonal.

Propietats

Per qualsevol matriu unitària U, el següent és cert:

• Donats dos vectors complexos x i y, la multiplicació per U preserva el seu producte escalar; és a dir,

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$.

• U és normal
• U és diagonalitzable; és a dir, U is semblant unitàriament a una matriu diagonal, a conseqüència del Teorema espectral. Per tant, U té una descomposició de la forma

${\displaystyle U=VDV^{*}\;}$

on V és unitària i D és diagonal i unitària.

• ${\displaystyle |\det(U)|=1}$.
• Els seus espais propis són ortogonals.
• Per qualsevol enter n, el conjunt de totes les matrius unitàries n per n juntament amb el producte matricial forma un grup, anomenat grup unitari U(n).
• Qualsevol matriu quadrada amb la norma euclidiana unitària és la mitjana de dues matrius unitàries^[1]

Condicions equivalents

Si U és una matriu complexa quadrada, llavors les següents condicions són equivalents:

1. U és unitària
2. U * és unitària
3. U és invertible, amb U ^–1=U *
4. les columnes de U formen una base ortonormal de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ respecte al producte escalar usual
5. les files de U formen una base ortonormal de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ respecte al producte escalar usual
6. U és una isometria respecte a la norma usual
7. U és una matriu normal amb valors propis dins la circumferència unitat