Paràmetre d'ubicació

A les estadístiques, un paràmetre d'ubicació d'una distribució de probabilitat és un paràmetre de valor escalar o vectorial ${\displaystyle x_{0}}$, que determina la "ubicació" o el desplaçament de la distribució. A la literatura d'estimació de paràmetres d'ubicació, es troba que les distribucions de probabilitat amb aquest paràmetre es defineixen formalment d'una de les maneres equivalents següents:

• ja sigui com a funció de densitat de probabilitat o funció de massa de probabilitat ${\displaystyle f(x-x_{0})}$;^[1] o
• amb una funció de distribució acumulada ${\displaystyle F(x-x_{0})}$;^[2] o
• es defineix com a resultat de la transformació de variables aleatòries ${\displaystyle x_{0}+X}$, on ${\displaystyle X}$ és una variable aleatòria amb una distribució determinada, possiblement desconeguda.^[3]

Un exemple directe d'un paràmetre d'ubicació és el paràmetre ${\displaystyle \mu }$ de la distribució normal. Per veure això, tingueu en compte que la funció de densitat de probabilitat ${\displaystyle f(x|\mu ,\sigma )}$ d'una distribució normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ pot tenir el paràmetre ${\displaystyle \mu }$ descomptat i s'escriu com:

${\displaystyle g(y-\mu |\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {y}{\sigma }}\right)^{2}}}$

complint així la primera de les definicions anteriors.

La definició anterior indica, en el cas unidimensional, que si ${\displaystyle x_{0}}$ augmenta, la densitat de probabilitat o funció de massa es desplaça rígidament cap a la dreta, mantenint la seva forma exacta.

També es pot trobar un paràmetre d'ubicació a les famílies que tenen més d'un paràmetre, com ara les famílies d'escala d'ubicació. En aquest cas, la funció de densitat de probabilitat o funció de massa de probabilitat serà un cas especial de la forma més general

${\displaystyle f_{x_{0},\theta }(x)=f_{\theta }(x-x_{0})}$

on ${\displaystyle x_{0}}$ és el paràmetre d'ubicació, θ representa paràmetres addicionals i ${\displaystyle f_{\theta }}$ és una funció parametritzada en els paràmetres addicionals.

Definició[4]

Deixar ${\displaystyle f(x)}$ sigui qualsevol funció de densitat de probabilitat i sigui ${\displaystyle \mu }$ i ${\displaystyle \sigma >0}$ ser qualsevol constant donada. Després la funció

${\displaystyle g(x|\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma }}f\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

és una funció de densitat de probabilitat.

Aleshores, la família d'ubicacions es defineix de la següent manera:

Sigui ${\displaystyle f(x)}$ qualsevol funció de densitat de probabilitat. Llavors la família de funcions de densitat de probabilitat ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f(x-\mu ):\mu \in \mathbb {R} \}}$ s'anomena família d'ubicacions amb funció de densitat de probabilitat estàndard ${\displaystyle f(x)}$, on ${\displaystyle \mu }$ s'anomena el paràmetre d'ubicació de la família.