Considerem una partícula de massa
en un potencial central. La funció d'ona de la partícula ha de satisfer l'equació de Schrödinger independent del temps:
Com que un potencial central té simetria esfèrica, l'equació de Schrödinger es pot expressar en coordenades esfèriques, amb l'origen de coordenades al centre del potencial:
Si suposem que les solucions de l'equació són separables,
s'obté, substituint i multiplicant per
:
El membre de l'esquerra (part radial) depèn només de
i el membre de la dreta (part angular) depèn només de
i
. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui
. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:
- Equació radial:

- Equació angular:

Separació de l'equació angular
L'equació angular es pot multiplicar per
:
Si suposem que les solucions de l'equació són separables,
s'obté, substituint i dividint per
:
El membre de l'esquerra (part polar) depèn només de
i el membre de la dreta (part azimutal) depèn només de
. Per tal que l'equació es satisfaci, cada membre ha de ser igual a una constant, que escollirem que sigui
. D'aquesta manera, obtenim dues equacions:
- Equació polar:

- Equació azimutal:

Equació azimutal
La solució general de l'equació azimutal és:
on
i
són constants arbitràries.
Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i periòdica en
, la funció
també ha de ser univaluada i periòdica en
, és a dir,
. En aquest cas, el nombre
, que s'anomena nombre quàntic magnètic, ha de ser un nombre enter:
Les solucions independents
coincideixen amb les solucions independents
per a
negatius. Per tant, podem prendre
sense pèrdua de generalitat:
Normalitzant
, s'obté:
Per tant, les funcions azimutals normalitzades s'expressen com:
Equació polar
L'equació polar es pot multiplicar per
:![{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta =0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d04041e82ef3daf8b93e30813e85b3886a0bfa)
Fent el canvi de variables
:![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\sin ^{2}\theta \,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}\right)+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\Theta =0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1edacc2f148577360622e5eede6b408ca36851)
Fent la substitució
:![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2})\,{\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} x}}\right]+\left[l(l+1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\Theta =0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161da9898c5bc2b028c0fa3dfb5def8497f49f29)
Finalment, aplicant la regla de la derivada d'un producte, s'obté l'expressió següent:
que és una equació associada de Legendre.
Com que la funció d'ona ha de ser univaluada i contínuament diferenciable, la funció
també ha de ser univaluada i contínuament diferenciable. En aquest cas, el nombre
, que s'anomena nombre quàntic azimutal, ha de ser un nombre enter. A més, l'equació associada de Legendre té solucions no nul·les quan
, és a dir, quan
La solució general de l'equació associada de Legendre per a
és:
on
i
són constants arbitràries, i
i
són les funcions associades de Legendre de primera i segona espècie, respectivament.