Problemes no resolts en matemàtiques

Els problemes no resolts en matemàtiques són una sèrie d'enunciats o conjectures matemàtiques sobre els quals existeix una forta evidència empírica que són certs però dels quals no es coneix una demostració matemàtica rigorosa. Existeixen diverses llistes de problemes oberts, entre els quals els problemes del mil·lenni o els problemes de Hilbert (encara que solament una part dels mateixos segueixen sent problemes no resolts).

Llistes de problemes no resolts en matemàtiques

Al llarg del temps han aparegut moltes llistes de problemes no resolts de les matemàtiques. La llista següent les enumera.

Llista	Nombre de problemes	Proposada per	Proposada el
Problemes de Hilbert	23	David Hilbert	1900
Problemes de Landau	4	Edmund Landau	1912
Problemes de Taniyama[1]	36	Yutaka Taniyama	1955
Problemes de Smale	18	Stephen Smale	1998
Premi dels problemes del mil·lenni	7	Clay Mathematics Institute	2000
Unsolved Problems on Mathematics for the 21st Century[2]	22	Jair Minoro Abe, Shotaro Tanaka	2001
Reptes matemàtics de DARPA[3][4]	23	DARPA	2007

Problemes del mil·lenni

Article principal: Premi dels problemes del mil·lenni

Els set problemes del mil·lenni foren escollits per una institució privada de Cambridge, Massachusetts (EUA), l'Institut Clay de Matemàtiques, la resolució dels quals seria premiada, segons va anunciar el Clay Mathematics Institute l'any 2000, amb la suma d'un milió de dòlars per cadascun.

La llista és la següent:

• P versus NP
• Conjectura de Hodge
• Hipòtesi de Riemann
• Existència de Yang-Mills i del salt de massa
• Existència i unicitat de les solucions de les equacions de Navier-Stokes
• Conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer
• Conjectura de Poincaré (resolta)

Altres problemes no resolts

Aquesta llista no és exhaustiva, per la qual cosa pot ser que no satisfaci els estàndards de completesa.

Teoria de nombres

Nombres primers

• Conjectura de Goldbach (conjectura 'forta')
• Conjectura dels nombres primers bessons
• Existència d'infinits nombres primers de Mersenne
• És tot nombre de Fermat compost per a n > 4?
• Problema de Sierpinski: "quin és el menor nombre de Sierpinski?" És el número 78,557? (conjectura de Selfridge)

Altres

• Conjectura de Collatz (o problema 3n + 1)
• Conjectura abc
• Existència de nombres perfectes imparells

Àlgebra

• Problema invers de Galois

Geometria

• Problema del sofà

Combinatòria

• Nombre de quadrats màgics

Problemes resolts recentment

• Conjectura de Goldbach (conjectura, 'feble', temptativament resolta per Harald Helfgott, 2012)
• Conjectura de Poincaré (resolta per Grigori Perelmán, 2002)
• Conjectura de Catalan (Preda Mihăilescu, abril de 2002)
• Conjectura de Taniyama-Shimura generalitzada (Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond i Richard Taylor, 1999)
• Conjectura de Kepler (Thomas Halis, 1998)
• Darrer teorema de Fermat (Andrew Wiles, 1995)
• Teorema dels quatre colors (Kenneth Appel i Wolfgang Haken, 1977)