Quaternió

Els quaternions són una generalització dels nombres complexos, de tal manera que si un nombre complex defineix dues dimensions afegint la component i (cal recordar que ${\displaystyle \mathbf {i^{2}} =-1}$), un quaternió defineix quatre dimensions afegint les components i,j,k, de manera que:

${\displaystyle \mathbf {i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1} }$

William Rowan Hamilton

Es pot resumir en aquesta taula de multiplicació:

	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Un quaternió, doncs, és un nombre de la forma: z = a + bi + cj + dk, on els 4 nombres reals a, b, c i d defineixen únicament el quaternió z. El valor absolut del quaternió z es defineix com a:

${\displaystyle \mathbf {|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}} }$

La multiplicació de quaternions té les propietats associativa i distributiva però no la commutativa: el conjunt dels quaternions és, doncs, un cos no abelià.

Van ser ideats per Sir William Rowan Hamilton, el 16 d'octubre de 1843^[1] (un dilluns) després de pensar bastant de temps en com era possible multiplicar "triplets", ternes o trios de nombres (de fet, és impossible). Va ser mentre, caminant amb la seva dona, anava a presidir una reunió a l'Reial Acadèmia d'Irlanda; la idea li va venir de sobte i se'n va alegrar tant que va gravar la fórmula esmentada a un dels carreus d'un pont que hi havia al camí. Tot i així, ja havien estat estudiats uns anys abans (1840) de forma geomètrica pel matemàtic francès Olinde Rodrigues, malgrat que la seva obra va ser poc o gens coneguda.^[2]