Teorema de convolució

En matemàtica, el teorema de convolució estableix que en determinades circumstàncies, la Transformada de Fourier d'una convolució és el producte punt a punt de les transformades de Fourier.^[1] En altres paraules, la convolució en un domini (per exemple el domini temporal) és equivalent al producte punt a punt en l'altre domini (és a dir domini espectral).^[2]

Siguin f i g dues funcions la convolució s'expressa amb ${\displaystyle f*g\,}$. (Nota: l'asterisc en aquest context, indica convolució i no multiplicació, de vegades s'utilitza també el símbol ${\displaystyle \otimes \,}$). Sigui ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ l'operador de la transformada de Fourier, de manera que ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f]}$ i ${\displaystyle {\mathcal {F}}[g]}$ són les transformades de Fourier de f i g , respectivament.

Llavors

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])}$

on "·" indica producte punt. També es pot afirmar que:

${\displaystyle {\mathcal {F}}[f*g]={\sqrt {2\pi }}({\mathcal {F}}[f])\cdot ({\mathcal {F}}[g])}$

Aplicant la transformada inversa de Fourier ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$, podem escriure:

${\displaystyle f*g={\sqrt {2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[f]\cdot {\mathcal {F}}[g]]}$

Demostració

La demostració funciona per normalitzacions unitàries i no unitàries de la transformada de Fourier, però en la versió unitària té factors extres de ${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}$ que aquí, són inconvenients. Siguin ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Siguin ${\displaystyle F\,}$ la transformada de Fourier de ${\displaystyle f\,}$ i ${\displaystyle G\,}$ la transformada de Fourier de ${\displaystyle g\,}$:

${\displaystyle F(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx}$

${\displaystyle G(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx}$.

Sigui ${\displaystyle h\,}$ la convolució de ${\displaystyle f\,}$ i ${\displaystyle g\,}$

${\displaystyle h(z)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,\mathrm {d} x.}$

Nota:

${\displaystyle \int \int |f(z)g(xz)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\int |g(zx)|\,dx\,dz=\int |f(z)|\,\|g\|_{1}\,dz=\|f\|_{1}\|g\|_{1}.}$

Pel teorema de Fubini tenim que ${\displaystyle h\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, així que la seva transformada de Fourier està definida.

Sigui ${\displaystyle H\,}$ la transformada de Fourier de ${\displaystyle h\,}$:

${\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(z)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(z-x)\,dx\,e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz.}$

Tenint en compte que ${\displaystyle |f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }|=|f(x)g(z-x)|}$ i gràcies a l'argument d'abans podem aplicar novament el teorema de Fubini:

${\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \omega }\,dz\right)\,dx.}$

Substituint ${\displaystyle y=z-x\,}$; tenim ${\displaystyle dy=dz\,}$, i per tant:

${\displaystyle H(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy\right)\,dx}$

${\displaystyle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \omega }\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(y)e^{-2\pi iy\cdot \omega }\,dy.}$

Aquestes dues integrals són les definicions de ${\displaystyle F(\omega )}$ i ${\displaystyle G(\omega )}$, així que:

${\displaystyle H(\omega )=F(\omega )\cdot G(\omega ).}$

Que és el que volíem demostrar.