Transformada de Hilbert

En matemàtiques i en processament de senyals, la transformada de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ d'una funció real ${\displaystyle s(t)\,}$ s'obté mitjançant la convolució dels senyals ${\displaystyle s(t)}$ i ${\displaystyle 1/(\pi t)}$ obtenint ${\displaystyle {\widehat {s}}(t)}$. Per tant, la transformada de Hilbert ${\displaystyle {\widehat {s}}(t)}$ es pot interpretar com la sortida d'un sistema LTI amb entrada ${\displaystyle s(t)}$ i resposta a l'impuls ${\displaystyle 1/(\pi t)}$.

La transformada de Hilbert (en vermell) d'una ona quadrada (en blau).

Aplicacions

És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és:

${\displaystyle {\widehat {s}}(t)={\mathcal {H}}\{s\}(t)=(h*s)(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {s(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .\,}$

on ${\displaystyle \scriptstyle h(t)=1/\pi t}$, considerant la integral com el valor principal (cosa que evita la singularitat ${\displaystyle \tau =t\,}$).

Utilitzant ${\displaystyle {\widehat {s}}(t)}$ es pot construir el senyal analític de s(t) com a:

${\displaystyle S_{a}(t)=s(t)+i{\widehat {s}}(t)}$

La transformada de Hilbert posseeix una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier:

${\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,={\begin{cases}+j\,&{\mbox{si }}\omega <0\,\\-j\,&{\mbox{si }}\omega >0\,\end{cases}}}$

o, de manera equivalent:

${\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )}$

${\displaystyle j\,}$ (o també ${\displaystyle i\,}$) és la unitat imaginària.

I, com que:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )=H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )}$,

la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de ${\displaystyle s(t)\,}$ +90° i les part de freqüències positives -90°.

Transformada inversa de Hilbert

També, ${\displaystyle H^{2}(\omega )=-1\,}$, per la qual cosa multiplicant l'equació anterior per ${\displaystyle -H(\omega )\,}$, s'obté que:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )}$

d'on s'obté la transformada inversa de Hilbert :

${\displaystyle S(t)=-(h*{\widehat {s}})(t)=-{\mathcal {H}}\{{\widehat {s}}\}(t).\,}$

Exemples de transformades

Senyal ${\displaystyle s(t)\,}$	Transformada de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}\{s\}(t)}$
${\displaystyle \sin(t)\,}$	${\displaystyle -\cos(t)\,}$
${\displaystyle \cos(t)\,}$	${\displaystyle \sin(t)\,}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
${\displaystyle \sin(t) \over t}$ Funció sinc	${\displaystyle 1-\cos(t) \over t}$
${\displaystyle \sqcap (t)}$ Funció rectangle	${\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|}$
${\displaystyle \Delta (t)}$ Funció delta de Dirac	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$