variable que pot prendre diversos valors en funció del resultat d'un fenomen aleatori From Wikipedia, the free encyclopedia
A l'estudi de molts experiments aleatoris molt sovint no ens interessa el resultat que s'obté sinó alguna quantitat numèrica relacionada amb ell. Per exemple, quan algú aposta en un joc d'atzar no l'interessa tant conèixer el resultat com el benefici (o la pèrdua) obtingut. Informalment, es defineix variable aleatòria com una funció que assigna un valor numèric real a cadascun dels resultats possibles d'un experiment aleatori.
Designem per el conjunt de resultats possibles d'un experiment aleatori. Una variable aleatòria és una aplicació .[1][2] Vegeu la definició formal a la secció Definició formal de variable aleatòria. Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar per (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria per (és a dir, en minúscules).
Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels resultats d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu "variable" perquè pren valors numèrics que varien (d'acord amb la probabilitat). Cal dir, però, que la paraula variable és una mica confosa, ja que, com hem comentat, una variable aleatòria és una funció o aplicació, i no es correspon al que en altres parts de la matemàtica s'anomena la variable d'una funció.
Exemple. Considerem l'experiència aleatòria del llançament de dos daus. El conjunt de resultats possibles d'aquesta experiència és: on el parell vol dir que al primer dau (dau1) hem obtingut el resultat i al segon dau (dau2) hem obtingut el resultat . En general els elements de es designen per .
Podem considerar la variable aleatòria que a cada resultat de l'experiència li assigna la suma dels punts dels dos daus, és a dir:
D'aquesta manera tenim una aplicació . Per exemple, el resultat (és a dir, dau1=1 i dau2=3) tindrà assignat el valor real 4: .-
Els valors possibles de la variable aleatòria serien: .
S'escriu per indicar l'esdeveniment format pels resultats que fan que . Per exemple,
Estudiarem tres tipus de variables aleatòries: discretes, contínues (de fet, absolutament contínues) i mixtes.
Una variable aleatòria s'anomena discreta si pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valors.
Exemples
Moltes variables aleatòries discretes importants prenen valors enters.
Considerem una variable aleatòria discreta i sigui , amb , el conjunt finit o infinit numerable de valors possibles que pot prendre. S'anomena funció de probabilitat[3] (o funció de massa de probabilitat) de a la funció definida per
Exemple. En el cas dels dos daus tenim, per exemple, que perquè l'esdeveniment té com a únic cas favorable (1,1) (és a dir, {dau1=1 i dau2=1}). Anàlogament, es calculen els altres valors de la funció de probabilitat:
|
Continuant amb l'exemple anterior, la probabilitat d'obtenir una suma dels dos daus menor o igual a 7 serà:
Observació. Alguns autors[4] defineixen la funció de probabilitat sobre tot el conjunt dels nombres reals: ,
Cal notar que a menys que per algun valor . A tots els efectes, ambdues definicions són equivalents.
Donada una variable aleatòria general la seva funció de distribució[5] és la funció definida per
|
Aquesta funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria). En particular, per a una variable discreta , amb les notacions anteriors, la seva funció de distribució vindrà donada per Exemple. Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb i una creu amb . Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares , una cara seguida d'una creu , una creu seguida d'una cara i dues creus . Així,
Sigui la variable aleatòria que compta el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, és la funció
donada per
El conjunt possibles valors de és . O sigui, és una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2.
La funció de probabilitat és . Vegeu la Figura 1.
La funció de distribució ve donada per
.
Vegeu la Figura 2.
Entre les variables aleatòries que poden prendre un nombre de valors no numerable, per exemple, una variable que pugui prendre qualsevol nombre real, tenen especial importància les variables aleatòries que tenen funció de densitat, les quals també s'anomenen variables aleatòries asolutament contínues, o senzillament variables contínues.
Una variable aleatòria es diu que té densitat o que és absolutament contínua o que és contínua si existeix una funció que compleix
|
Així, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció, l'eix de les i l les rectes i .Vegeu la Figura 4. La funció s'anomena funció de densitat de . La funció de distribució és
i és contínua (de fet és absolutament contínua). Noteu que per a qualsevol valor
Moltes de les variables d'estudis estadístics reals poden ser formalitzades amb el model d'una variable aleatòria contínua:
Exemples
i la funció de distribució és
Observació. Les funcions de densitat no són úniques, i es poden modificar sobre un conjunt finit o infinit numerable de punts (de fet, sobre un conjunt de mesura de Lebesgue zero). Per exemple, retornant a l'exemple 2, la funció també és una funció de densitat de la distribució uniforme en l'interval .
Hi ha variables aleatòries que són una combinació dels dos tipus anteriors. Per exemple, considerem un mecanisme aleatori com el de la Figura 6: si l'agulla va a parar a la zona de l'esquerra (àrea grisa) aleshores s'obté un 0; si va a parar a la zona de la dreta, aleshores s'obté un nombre decimal entre 0 i 1 amb distribució uniforme. Anomenen el resultat, que és una variable aleatòria que pot prendre un nombre no numerable de valors, i per tant no és discreta, però d'altra banda , i tampoc és contínua. La funció de distribució val:
Vegeu la Figura 7. Una variable aleatòria d'aquest tipus es diu que és mixta[6].
Estudiarem dos paràmetres per mesurar numèricament "el centre" i "la dispersió" d'una variable aleatòria. Vegeu esperança matemàtica i variància
La mitjana o esperança matemàtica d'una variable aleatòria discreta es defineix en termes de la funció de probabilitat:
sempre que .
En l'exemple dels dos daus val:
La mitjana d'una variable aleatòria rep també el nom de valor esperat (o esperança) i es representa
En teoria de la probabilitat i estadística, Variància és un paràmetre estadístic que mesura la dispersió d'una variable aleatòria respecte la seva mitjana o esperança .[7]
sempre que
La variància és el quadrat d'una altre paràmetre de dispersió, la desviació tipus , és a dir: .
La variància és representa mitjançant , , o simplement .
La variància té un paper central en: estadística descriptiva, inferència estadística, test d'hipòtesi, mètode Monte Carlo,...
És també molt important en les ciències que utilitzen sovint l'anàlisi estadística de les dades.
La mitjana o valor esperat d'una variable aleatòria contínua es defineix en termes de la funció de densitat de probabilitat:
sempre que .
La variància es defineix per la fórmula:
sempre que .
A l'aplicar una funció a una variable aleatòria s'obté una altra variable aleatòria. Més concretament, si tenim una variable aleatòria i una funció , aleshores també és una variable aleatòria (vegeu a la darrera secció les condicions formals). La funció de distribució de és
Càlcul de la funció de densitat per derivació de la funció de distribució
Si coneixem la funció de densitat d'una variable aleatòria, aleshores funció de distribució val Si és contínua, llavors pel teorema fonamental del càlcul, la funció es pot derivar en tots els punts i En moltes situacions es pot calcular la funció de distribució d'una variable aleatòria, i si és contínua i derivable en quasi tots els punts, ens preguntem si la seva derivada és la funció de densitat. Això en general no es veritat; per exemple, la funció de distribució de la distribució de Cantor compleix que en quasi tots els punts, i per tant tindríem que la funció de densitat seria zero quasi en tots els punts, la qual cosa és absurda. Una propietat molt útil dona condicions sota les quals la funció de densitat es pot obtenir derivant la funció de distribució.
|
Exemple 1. Sigui una variable aleatòria uniforme en l'interval , , amb funció de densitat Definim Volem calcular la funció de densitat de . Començarem calculant la seva funció de distribució, que designarem per .
Així, és derivable en tots els punts excepte als punts 0 i 1, vegeu la Figura 8. La derivada val Noteu que aquesta funció no està definida a i , vegeu la Figura .Per tant, la funció de distribució de compleix les tres condicions de la propietat anterior, i per tant, la seva funció de densitat és (vegeu la Figura 9) Observació. Als punts 0 i 1 on no està definida i es pot donar a la funció de densitat qualsevol valor, ja que per calcular probabilitats relacionades amb allò que ens interessa és el valor de la integral de la densitat sobre subconjunts de . Així, podem prendre com a funció de densitat la funció
Fórmula de canvi de variables
Sota certes condicions, si és una variable aleatòria amb densitat i una bona funció, aleshores la variable aleatòria té funció de densitat. La funció no cal que estigui definida a tot i n'hi ha prou amb que ho estigui en el conjunt on pren valors la variable aleatòria .
|
Aquesta expressió també es pot escriure on és la funció indicador del conjunt : Noteu que la fórmula anterior també es pot escriure en termes de la funció , Exemple 2. Sigui una variable uniforme en l'interval (0,2), , que, per tant, està concentrada a l'interval (0,2): ; la seva funció de densitat és Sigui . La funció és bijectiva, estrictament creixent i amb derivada contínua. La seva inversa és Llavors, la variable aleatòria tindrà funció de densitat Extensió a una funció més general La propietat anterior exigeix condicions molt fortes que, a la pràctica, sovint no es compleixen. En l'Exemple 1 d'aquesta secció, la funció no és bijectiva. Menys restrictiva és la següent propietat, on la funció se separa en diferents funcions, cadascuna de les quals té bones propietats.
|
Exemple 1 (repetició per un altre mètode). Sigui i . Escrivim i . Tenim que