Limitní bod
From Wikipedia, the free encyclopedia
Limitní bod množiny v topologickém prostoru je bod , který lze „aproximovat“ body množiny v tom smyslu, že každé okolí bodu vzhledem k topologii na obsahuje také nějaký jiný bod množiny než samotný . Samotný limitní bod množiny prvkem množiny být nemusí.
Limitní body množiny se nesmí zaměňovat s body uzávěru množiny , pro které každé okolí bodu obsahuje nějaký bod množiny . Na rozdíl od limitních bodů, tímto bodem množiny může být i samotný bod . Limitní bod lze charakterizovat jako bod uzávěru, který není izolovaným bodem.
Limitní body množiny se také nesmí zaměňovat s hraničními body množiny . Například je hraničním bodem množiny v se standardní topologií, ale není jejím limitním bodem. Naopak je limitním bodem intervalu v se standardní topologií, ale není hraničním bodem tohoto intervalu. Méně triviální příklad limitních bodů je ukázán na prvním obrázku.[1][2][3]
Tento koncept výhodně zobecňuje pojem limity a tvoří základ konceptů, jako je uzavřená množina nebo uzávěr množiny. Množina reálných čísel je uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své limitní body; a na operaci topologického uzávěru lze pohlížet jako na operaci, která doplňuje množinu jejími hromadnými body.
Existuje také blízce příbuzný koncept pro posloupnosti. Hromadný bod posloupnosti v topologickém prostoru je bod takový, že, pro každé okolí bodu existuje nekonečně mnoho přirozených čísel takových, že Tuto definici hromadného bodu lze zobecnit pro sítě a filtry.
Pro posloupnosti, sítě a filtry limitní bod není totéž co hromadný bod množiny. Podle definice limitní bod filtru[4], limitní bod posloupnosti[5] nebo limitní bod sítě je bod, ke kterému konverguje konvergentní filtr (konvergentní posloupnost, příp. konvergentní síť).