Matematický pojem From Wikipedia, the free encyclopedia
Singularita je v matematice obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně — například není diferencovatelný. Například funkce má na množině reálných čísel singularitu v bodě , kde diverguje k nekonečnu a není zde definovaná, a funkce má také na množině reálných čísel singularitu v bodě , protože zde nemá derivaci. Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární.
V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná. Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu. Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu. Významnou roli mají především singularity izolované, kolem kterých existuje takové okolí, že v něm nejsou další singularity. Formálněji řečeno, má-li funkce v bodě singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu , na němž je holomorfní, pak se bod nazývá izolovaná singularita.
Podle limitního chování funkce v singularitě se izolované singularity se dělí na odstranitelné, podstatné a póly.
Má-li funkce v bodě singularitu a existuje-li limita , potom je tato singularita odstranitelná. Přitom platí:
Má-li funkce v bodě singularitu a limita neexistuje, potom má v bodě podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce v bodě .
Má-li funkce v bodě singularitu a existuje-li limita , pak platí, že existuje (přirozené) číslo takové, že . Potom má v pól -tého řádu. Pól -tého řádu znamená, že funkce se v okolí chová podobně jako nějaký nenulový násobek funkce . Pokud je v pól, dá se kolem rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě členů ve své hlavní části. Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.