Čtyřrozměrná platónská tělesa

Čtyřrozměrná platónská tělesa jsou čtyřrozměrné analogie trojrozměrných platónských těles, tj. pravidelných konvexních mnohostěnů, které poprvé popsal švýcarský matematik Ludwig Schläfli v polovině 19. století. Zjistil, že jich existuje právě šest: 5nadstěn, teserakt (8nadstěn), 16nadstěn, 24nadstěn, 120nadstěn a 600nadstěn. Pět z nich je možno chápat jako vícedimenzionální analogii konkrétních pěti platónských těles v trojrozměrném prostoru (5nadstěn, teserakt, 16nadstěn, 120nadstěn a 600nadstěn). Navíc ve čtyřrozměrném prostoru existuje ještě šesté těleso (24nadstěn), které nemá mezi trojrozměrnými platónskými tělesy ekvivalent.

Tento článek není dostatečně ozdrojován, a může tedy obsahovat informace, které je třeba ověřit.

---

Tabulka

Název	Obrázek	Počet stěn	Počet hran	Počet vrcholů	Typ nadstěny	Typ stěny	Počet hran u vrcholu	Počet stěn u vrcholu	Počet nadstěn u vrcholu	2D povrch	3D povrch	4D objem
Pentachoron (5nadstěn)		10	10	5	Čtyřstěn	Trojúhelník	4	6		${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\;\ a^{2}\,}$	${\displaystyle {\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;\ a^{3}\,}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\,}$
Teserakt (8nadstěn)		24	32	16	Krychle	Čtverec	4	6		${\displaystyle 24\ a^{2}\,}$	${\displaystyle 8\ a^{3}\,}$	${\displaystyle a^{4}\,}$
Ortoplex (16nadstěn)		32	24	8	Čtyřstěn	Trojúhelník				${\displaystyle 8{\sqrt {3}}\ a^{2}}$	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\ a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {a^{4}}{6}}}$
Ikositetrachoron (24nadstěn)		96	96	24	Osmistěn	Trojúhelník	6			${\displaystyle 24{\sqrt {3}}\ a^{2}}$	${\displaystyle 8{\sqrt {2}}\ a^{3}}$	${\displaystyle 2\ a^{4}}$
Hekatonikosachoron (120nadstěn)		720	1200	600	Dvanáctistěn	Pětiúhelník			4	${\displaystyle 180{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}}$	${\displaystyle 30(15+7{\sqrt {5}})a^{3}}$	${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1125}{8}}\left(2207+987{\sqrt {5}}\right)}}a^{4}}$
Hexakosichoron (600nadstěn)		1200	720	120	Čtyřstěn	Trojúhelník	10		20	${\displaystyle 300{\sqrt {3}}\ a^{2}}$	${\displaystyle 50{\sqrt {2}}\ a^{3}}$	${\displaystyle {\frac {25}{4}}\left(2+{\sqrt {5}}\right)a^{4}}$

Dualismus

Podobně jako ve 3D i 4D platónská tělesa jsou duální:

• 5nadstěn je duální sám se sebou,
• teserakt a 16nadstěn jsou navzájem duální,
• 24nadstěn je duální sám se sebou,
• 120nadstěn a 600nadstěn jsou navzájem duální.

Související články

• Platónské těleso