Spojitá funkce

Tento článek je o spojitosti funkcí. O obecnějším pojmu spojitosti zobrazení na topologických prostorech pojednává článek Spojité zobrazení.

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, což si lze intuitivně představit tak, že graf funkce lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku, např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce definovat následovně:

• Funkce ${\displaystyle f}$ je v bodě ${\displaystyle a\in D(f)}$ spojitá, právě když platí ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$.

• Funkce ${\displaystyle f}$ je na intervalu ${\displaystyle (a,b)\subseteq D(f)}$ spojitá, právě když pro každé ${\displaystyle y\in (a,b)}$ platí ${\displaystyle \lim _{x\to y}f(x)=f(y)}$.

Definice

• 
  Funkce spojitá zprava
• 
  Funkce spojitá zleva

O funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ řekneme, že je spojitá v bodě ${\displaystyle a}$, pokud ke každému libovolně malému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna ${\displaystyle x}$, pro něž platí ${\displaystyle |x-a|<\delta }$, platí také ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$. Velikost čísla ${\displaystyle \delta }$ může záviset nejen na volbě čísla ${\displaystyle \varepsilon }$, ale i na volbě bodu ${\displaystyle a}$.

Funkci ${\displaystyle f}$ označujeme jako spojitou zprava resp. zleva, pokud k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,a+\delta )}$ resp. ${\displaystyle x\in (a-\delta ,a\rangle }$, tzn. pro všechna ${\displaystyle x}$ z pravého resp. levého okolí bodu ${\displaystyle a}$, platí ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Uvedenou Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci ${\displaystyle n}$ proměnných. O funkci ${\displaystyle f}$ o proměnných ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ řekneme, že je spojitá v bodě ${\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}$, pokud ke každému libovolně malému číslu ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové číslo ${\displaystyle \delta >0}$, že pro všechny body ${\displaystyle X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}$ z okolí bodu ${\displaystyle A}$, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku ${\displaystyle d(A,X)<\delta }$, platí ${\displaystyle |f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})|<\varepsilon }$.

Stejnoměrná spojitost

Stejnoměrné spojitá funkce

Ne-stejnoměrně spojitá funkce (${\displaystyle x\mapsto \,e^{x}}$)

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ je stejnoměrně spojitá, jestliže obrazy ${\displaystyle f(x_{1})}$ a ${\displaystyle f(x_{2})}$ sobě dostatečně blízkých bodů ${\displaystyle x_{1}}$ a ${\displaystyle x_{2}}$ jsou si také dostatečně blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě blízkých bodů, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Definice

• Nechť ${\displaystyle (X,\rho )}$ a ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ jsou metrické prostory. Funkci ${\displaystyle f:X\to Y}$ nazveme stejnoměrně spojitou, pokud k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pro libovolné dva body ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ platí, že pokud ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})<\delta }$, tak ${\displaystyle \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon }$.

• Mějme funkci ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ definovanou na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pro niž k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje ${\displaystyle \delta >0}$ takové, že pro libovolné dva body ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ z intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ splňující podmínku ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$ platí ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$. Pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je stejnoměrně spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$.

• Mějme funkci ${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$, kde ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ a ${\displaystyle \ n,m\in \mathbb {N} }$, pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ a ${\displaystyle \{y_{n}\}}$ splňujících podmínku ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0\,}$ platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0}$.

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota ${\displaystyle \delta }$ závisí pouze na velikosti ${\displaystyle \varepsilon }$, a nikoli na bodu ${\displaystyle x}$.

Vlastnosti

• Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
• Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
• Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.
• Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
• Pokud je reálná funkce ${\displaystyle f}$ spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$ a existuje vlastní limita ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$, pak je funkce na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$ stejnoměrně spojitá.

Příklady

• Funkce ${\displaystyle f(x)=kx}$ je pro ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
• Exponenciální funkce ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
• Nechť ${\displaystyle (X,\rho )}$ je metrický prostor. Pak ${\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb {R} }$ je stejnoměrně spojitá funkce.

Absolutní spojitost

Absolutní spojitost funkce zesiluje stejnoměrnou spojitost. Na rozdíl od ní se ale neomezuje na jeden dostatečně malý interval a velikost jeho obrazu, nýbrž klade nároky i na systémy (malých) intervalů.

Definice

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ je absolutně spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, jestliže k libovolnému ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje takové ${\displaystyle \delta >0}$, že pro každý systém intervalů ${\displaystyle \langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\ldots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle }$, pro který je ${\displaystyle a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b}$ a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)<\delta }$ platí ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|f\left(b_{i}\right)-f\left(a_{i}\right)\right|<\varepsilon }$.

Ekvivalentní definice

Funkce ${\displaystyle f}$ je absolutně spojitá na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ právě tehdy, když

• ${\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}$ je rozdílem dvou neklesajících spojitých funkcí
• ${\displaystyle \exists g\in L^{1}(a,b)}$ taková, že ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in (a,b)}$
• ${\displaystyle \exists h\in L^{1}(a,b)}$ taková, že ${\displaystyle |f(d)-f(c)|\leq \int _{c}^{d}h(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall \langle c,d\rangle \subset \langle a,b\rangle }$.

Pokud ${\displaystyle f\in L^{1}(a,b)}$ a ${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {dt} }$, pak ${\displaystyle F}$ je absolutně spojitá na ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$.

Vlastnosti

• Je-li funkce ${\displaystyle f}$ absolutně spojitá na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pak je na tomto intervalu spojitá.
• Každá absolutně spojitá funkce je stejnoměrně spojitá a tedy spojitá.
• Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí je také absolutně spojitý.
• Spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je spojitá, ale není absolutně spojitá.
• Stejnoměrná spojitost neimplikuje absolutní spojitost - Cantorova funkce je stejnoměrně spojitá, ale není absolutně spojitá.
• Absolutně spojitá funkce ${\displaystyle f}$ má derivaci skoro všude a platí: ${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\mathrm {dt} {\mbox{ }}\forall x\in \langle a,b\rangle }$.

Příklady

• Funkce ${\displaystyle f(x)=x}$ je absolutně spojitá.

Lipschitzovská spojitost

Podrobnější informace naleznete v článku Lipschitzovsky spojité zobrazení.

Definice

Funkce ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ je na svém definičním oboru lipschitzovsky spojitá, pokud existuje konstanta ${\displaystyle K>0}$ tak, že pro každé ${\displaystyle x,y}$ z definičním oboru platí:

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq K|x-y|}$.

Lipschitzovská funkce je absolutně spojitá.

Polospojitost

Shora polospojitá funkce.

Podrobnější informace naleznete v článku Polospojitá funkce.

Přesněji funkce polospojitá shora a funkce polospojitá zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Funkce ${\displaystyle f}$ je shora polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$, pokud pro body ${\displaystyle y}$ blízké bodu ${\displaystyle x}$ není ${\displaystyle f(y)}$ o moc větší než ${\displaystyle f(x)}$. Funkce ${\displaystyle f}$ je zdola polospojitá v bodě ${\displaystyle x}$, pokud pro body ${\displaystyle y}$ blízké bodu ${\displaystyle x}$ není ${\displaystyle f(y)}$ o moc menší než ${\displaystyle f(x)}$.

Spojitost komplexní funkce

Komplexní funkce ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ je spojitá v bodě ${\displaystyle z_{0}}$ části komplexní roviny ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$, na které je definovaná, jestliže platí:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})}$.

Je-li funkce ${\displaystyle f(z)}$ spojitá v každém bodě oblasti ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$, pak říkáme, že je spojitá na oblasti ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$.

Věty o spojitosti

• Heineho věta říká, že funkce ${\displaystyle f}$ definovaná na prstencovém okolí bodu ${\displaystyle a}$ je v bodě ${\displaystyle a}$ spojitá, právě když pro každou posloupnost čísel ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ z uvedeného okolí bodu ${\displaystyle a}$ takovou, že ${\displaystyle x_{n}\neq a}$ a ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a}$ platí ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(a)}$.
• Weierstrassova věta říká, že je-li funkce ${\displaystyle f}$ spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pak na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle x_{1}\in \langle a,b\rangle }$ takový, že ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$. Jedná se o maximum funkce ${\displaystyle f}$ na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$. Současně také existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle x_{2}\in \langle a,b\rangle }$ takový, že ${\displaystyle f(x_{2})\leq f(x)}$ pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$. Jedná se o minimum funkce ${\displaystyle f}$ na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$. Funkce spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ je tedy na tomto intervalu také ohraničená.
• Weierstrassova aproximační věta říká, že máme-li funkci ${\displaystyle f}$ spojitou na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pak pro každé ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existuje polynom ${\displaystyle P}$ takový, že ${\displaystyle |f(x)-P(x)|<\varepsilon }$ pro všechna ${\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }$.
• Bolzanova věta říká, že je-li funkce ${\displaystyle f}$ spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ a splňuje-li podmínku ${\displaystyle f(a)f(b)<0}$, pak existuje alespoň jeden bod ${\displaystyle c\in \langle a,b\rangle }$ takový, že ${\displaystyle f(c)=0}$.
• Darbouxova věta říká, že je-li funkce ${\displaystyle f}$ spojitá na uzavřeném intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, pak pro ${\displaystyle m=\min\{f(x)|x\in \langle a,b\rangle \}}$ a ${\displaystyle M=\max\{f(x)|x\in \langle a,b\rangle \}}$ platí ${\displaystyle f(\langle a,b\rangle )=\langle m,M\rangle }$, tj. ke každému ${\displaystyle y_{0}\in \langle m,M\rangle }$ existuje ${\displaystyle x_{0}\in \langle a,b\rangle }$ tak, že ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$.

Poznamenejme, že v anglické a francouzské matematické literatuře se pod pojmem Darbouxova věta rozumí většinou věta říkající, že derivace diferencovatelné funkce na otevřeném intervalu má tzv. vlastnost nabývání mezihodnot. V části ruské matematické literatury se pod pojmem Darbouxova věta rozumí věta uvedená v předchozím odstavci.

Body nespojitosti

Související informace naleznete také v článku Singularita (matematika).

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti:

Pokud v bodě ${\displaystyle a}$ existuje vlastní oboustranná limita, avšak je různá od funkční hodnoty v bodě ${\displaystyle a}$, tj. ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\neq f(a)}$, pak v bodě ${\displaystyle a}$ nastává odstranitelná nespojitost funkce ${\displaystyle f}$, funkci lze v bodě ${\displaystyle a}$ předefinovat.

Bod nespojitosti prvního druhu funkce ${\displaystyle f}$ - takový bod ${\displaystyle a}$, v němž existují obě vlastní limity zprava i zleva, avšak tyto limity mají rozdílné hodnoty, tj. ${\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)\neq \lim _{x\to a-}f(x)}$. Rozdíl mezi těmito čísly, tj. ${\displaystyle |\lim _{x\to a+}f(x)-\lim _{x\to a-}f(x)|}$, nazýváme skokem funkce v bodě ${\displaystyle a}$.

Bod nespojitosti druhého druhu funkce ${\displaystyle f}$ - takový bod ${\displaystyle a}$, v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních jednostranných limit.

Funkci, která je definována na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, označíme jako po částech spojitou, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Vlastnosti

• Má-li funkce ${\displaystyle f(x)}$ v bodě ${\displaystyle a}$ konečnou derivaci, pak je v bodě ${\displaystyle a}$ také spojitá.
• Pokud je funkce ${\displaystyle f(x)}$ spojitá v bodě ${\displaystyle a}$ a funkce ${\displaystyle g(y)}$ spojitá v bodě ${\displaystyle b=f(a)}$, pak složená funkce ${\displaystyle g(f(x))}$ je spojitá v bodě ${\displaystyle a}$.

Příklady

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

• Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
• Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla). Obecněji, všechny elementární funkce jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru.
• Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0. I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1. V tomto bodě je bod nespojitosti prvního druhu. Funkce má skok o velikosti 2.
• Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle. V každém z těchto bodů je bod nespojitosti prvního druhu se skokem o velikosti 1.
• Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá. Tato funkce má v každém bodě bod nespojitosti druhého druhu.
• Funkce ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ není definovaná v bodě ${\displaystyle x=0}$ a má zde konečnou limitu ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}$ Jedná se tedy o odstranitelnou nespojitost. Spojitým dodefinováním funkční hodnoty v počátku vznikne funkce sinc.

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.

• JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet I. 7. vyd. Praha: Academia, 1984. 392 s.

Související články

• Funkce
• Komplexní funkce
• Spojité zobrazení
• Okolí

Portály: Matematika