Bernoulliho diferenciální rovnice

Tento článek je o diferenciální rovnici. O mechanice tekutin pojednává článek Bernoulliho rovnice.

Bernoulliho diferenciální rovnice je v matematice obyčejná diferenciální rovnice tvaru:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

kde ${\displaystyle n}$ je reálná konstanta. Pro ${\displaystyle n=0}$ přejde Bernoulliho rovnice na nehomogenní lineární rovnici, pro ${\displaystyle n=1}$ na homogenní lineární rovnici.^[1] Rovnice je pojmenována po Jacobu Bernoullim, který ji popsal v roce 1695. Význam Bernoulliho diferenciální rovnice tkví v tom, že se jedná o nelineární diferenciální rovnice, u kterých je známo přesné řešení. Speciálním případem Bernoulliho rovnic je logistická diferenciální rovnice.

Transformace na lineární diferenciální rovnici

Pro ${\displaystyle n=0}$ a ${\displaystyle n=1}$ je Bernoulliho rovnice lineární. Pro ${\displaystyle n\neq 0}$ a ${\displaystyle n\neq 1}$ převádí substituce ${\displaystyle u=y^{1-n}}$ libovolnou Bernoulliho rovnici na lineární diferenciální rovnici.

Například:

Uvažujme následující diferenciální rovnici: ${\displaystyle x{\frac {dy}{dx}}+y=x^{2}y^{2}}$

Přepíšeme ji do Bernoulliho tvaru (pro ${\displaystyle n=2}$): ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}}$

Odtud substitucí ${\displaystyle u=y^{-1}}$ dostaneme ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x}$, což je lineární diferenciální rovnice.

Řešení

Nechť ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ a

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {pro}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {pro}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.}$

je řešením lineární diferenciální rovnice

${\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).}$

Odtud plyne, že ${\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}}$ je řešením rovnice

${\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.}$

a pro každou takovou diferenciální rovnici a pro všechna ${\displaystyle \alpha >0}$ je ${\displaystyle y\equiv 0}$ řešením pro ${\displaystyle y_{0}=0}$.

Příklad

Uvažujme Bernoulliho rovnici (v tomto případě Riccatiho rovnici).^[2]

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

Nejprve si všimněme, že jedním řešením je ${\displaystyle y=0}$. Vydělením ${\displaystyle y^{2}}$ dostáváme

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

Substitucí proměnných

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}}$

dostáváme rovnici

${\displaystyle -w'-{\frac {2}{x}}w=-x^{2}}$

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$

kterou lze řešit metodou integračního faktoru

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}$

vynásobením ${\displaystyle M(x)}$ dostaneme

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$

všimněme si, že levá strana je derivací výrazu ${\displaystyle wx^{2}}$. Integrováním obou stran podle ${\displaystyle x}$ dostáváme rovnici

${\displaystyle \int w'x^{2}+2xw\,dx=\int x^{4}\,dx}$

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

Tedy řešení pro ${\displaystyle y}$ je

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}$.