Biotův–Savartův zákon

Biotův–Savartův zákon (také někdy nazývaný Biotův–Savartův–Laplaceův zákon, v některých zdrojích uváděný také jako Savartův–Biotův zákon^[1]) popisuje magnetickou indukci, která vzniká díky pohybujícímu se náboji.

Pojmenován byl podle dvou francouzských matematiků – Jean-Baptiste Biotovi a Félixi Savartovi. Společně s Ampérovým zákonem o síle působící na náboj v magnetickém poli je základním zákonem magnetostatiky.

Formulace zákona

Zákon udává vztah pro magnetickou indukci, vyvolanou elektrickým proudem nebo pohybujícím se bodovým elektrickým nábojem.

Bodový náboj Q, který se v místě ${\displaystyle \mathbf {r} _{Q}}$ pohybuje rychlostí ${\displaystyle \mathbf {v} }$, přispívá do místa s polohovým vektorem ${\displaystyle \mathbf {r} }$ magnetickou indukcí ${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$, což lze vyjádřit vztahem

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu Q}{4\pi }}{\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{Q})}{\Vert \mathbf {r} -\mathbf {r} _{Q}\Vert ^{3}}}\;}$,

kde μ je permeabilita. Pro hustotu elektrického proudu ${\displaystyle \mathbf {j} }$ dostáváme objemový integrál:

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu }{4\pi }}\iiint _{V_{Q}}\mathbf {j} (\mathbf {r} _{Q})\times {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{Q})}{\Vert \mathbf {r} -\mathbf {r} _{Q}\Vert ^{3}}}\;\mathrm {d} {V_{Q}}}$.

Tento vztah je analogický ke vztahu, který elektrostatické pole popisuje jako funkci hustoty náboje.

Lineární vodič

Pro magnetickou indukci lineárního vodiče C, kterým protéká proud I, získáváme [křivkový integrál] přes křivku C, představující vodič (orientovanou ve směru proudu):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu I}{4\pi }}\int _{C}\mathrm {d} {\mathbf {r} _{Q}}\times {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{Q})}{\Vert \mathbf {r} -\mathbf {r} _{Q}\Vert ^{3}}}\;}$,

kde ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{Q}}$ je nekonečně malý úsek vodiče ve směru proudu, což můžeme také v diferenciálním tvaru jednoduše psát:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\mathit {\vec {B}}} (\mathbf {\mathit {\vec {r}}} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\mathit {\vec {I}}} \times \mathbf {\mathit {\vec {r}}} }{r^{3}}}}$

kde ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\mathit {\vec {I}}} =I\mathrm {d} \mathbf {\mathit {\vec {l}}} }$.