Brahmaguptův vzorec

Brahmaguptův vzorec (podle indického matematika Brahmagupty) umožňuje vypočítat obsah S tětivového čtyřúhelníka, tedy takového, kterému může být opsána kružnice. Nechť ABCD je tětivový čtyřúhelník se stranami a, b, c a d, pak platí:

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$,

Brahmaguptův vzorec

kde s je polovina obvodu tohoto čtyřúhelníka:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Odvození

Brahmaguptův vzorec lze dokázat aplikací Heronova vzorce na dva trojúhelníky, na které lze čtyřúhelník rozdělit.

Důsledky

Pokud jedna ze stran má nulovou délku (např. 'd'), dostaneme Heronův vzorec pro obsah trojúhelníka:

${\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}$

Z nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem plyne, že tětivový čtýřúhelník s daným obvodem má největší obsah, právě když má shodné strany, tj. je to čtverec.

Zobecnění

Zobecněním Brahmaguptova vzorce na obecné rovinné čtyřúhelníky je Bretschneiderův vzorec:

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},}$

kde ${\displaystyle \theta }$ je polovina součtu dvou protilehlých úhlů čtyřúhelníka.

Portály: Matematika