Eulerova funkce

Eulerova funkce je významná funkce v teorii čísel.

Graf Eulerovy funkce pro hodnoty od 1 do 1000

Značí se ${\displaystyle \varphi (n)}$.

Definice

${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }

${\displaystyle \varphi (n)}$ je počet všech přirozených čísel k takových, že ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ a NSD(k,n)=1, tedy k a n jsou nesoudělná čísla. Ihned z definice jsou patrné následující vlastnosti:

• ${\displaystyle \varphi (1)=1}$,
• ${\displaystyle \varphi (p)=p-1}$ pro p prvočíslo,
• ${\displaystyle \varphi (p^{m})=(p-1)\cdot p^{m-1}}$ pro p prvočíslo a m kladný celý exponent.

Výpočet Eulerovy funkce

K výpočtu hodnoty Eulerovy funkce pro obecný argument n se používá následující vlastnost (multiplikativnost): Nechť x,y jsou dvě nesoudělná celá kladná čísla, potom

${\displaystyle \varphi (xy)=\varphi (x)\cdot \varphi (y)}$.

Toto tvrzení se dokazuje pomocí čínské věty o zbytcích.

Je patrné, že je-li znám rozklad argumentu n na prvočísla:

${\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{m}^{k_{m}}}$

je hodnota Eulerovy funkce rovna

${\displaystyle \varphi (n)=\prod _{i=1}^{m}\varphi (p_{i}^{k_{i}})=\prod _{i=1}^{m}((p_{i}-1)p_{i}^{k_{i}-1}).}$

Naproti tomu není známo, zda lze Eulerovu funkci efektivně spočítat bez znalosti rozkladu argumentu na prvočísla; efektivní algoritmus znamená v tomto případě algoritmus polynomiální.

Objev prakticky využitelného algoritmu pro výpočet Eulerovy funkce bez znalosti rozkladu argumentu by měl ničivé důsledky pro bezpečnost šifry RSA, neboť s jeho pomocí by každý byl schopen dopočítat z veřejného klíče klíč soukromý.

Související články

• Eulerova věta
• RSA
• Největší společný dělitel
• Malá Fermatova věta
• Carmichaelova funkce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerova funkce na Wikimedia Commons