Hyperbolický sinus

Hyperbolický sinus (sinh) je hyperbolická funkce. Je to vlastně lichá část přirozené exponenciály.

Hyperbolický sinus (červeně) a kosinus (modře)

Definice

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

Vlastnosti

• Definiční obor: ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Obor hodnot: ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Je to lichá funkce:

${\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x}$

• ${\displaystyle \sinh x=-i\sin ix}$, kde ${\displaystyle i}$ je Imaginární jednotka.
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x}$, kde ${\displaystyle \cosh x}$ je hyperbolický kosinus.
• ${\displaystyle \int \sinh x\mathrm {d} x=\cosh x+C}$, kde ${\displaystyle C}$ je integrační konstanta.
• ${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}$.
• ${\displaystyle \sinh 0=0}$
• ${\displaystyle \sinh(\ln \phi )={\frac {1}{2}}}$, kde ${\displaystyle \phi }$ je zlatý řez.

Externí odkazy

• (anglicky)Hyperbolický sinus na MathWorld