Lambertova funkce W

Lambertova funkce W je speciální funkce používaná při řešení rovnic, které obsahují neznámou jak v základu, tak v exponentu. Nese jméno švýcarského učence Johanna Heinricha Lamberta. Je definována jako inverzní relace k funkci ${\displaystyle f(w)=we^{w},}$ kde ${\displaystyle w}$ patří do množiny komplexních čísel, a značí se ${\displaystyle W(z).}$ Pro každé komplexní číslo ${\displaystyle z}$ tedy platí

${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}.}$

Graf funkce ${\displaystyle \color {blue}W_{0}(x)}$ a ${\displaystyle \color {magenta}W_{-1}(x)}$ pro reálné argumenty

${\displaystyle z=\mathrm {Re} (W_{0}(x+i\ y))}$



reálná část funkce ${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle z=\mathrm {Im} (W_{0}(x+i\ y))}$



imaginární část funkce ${\displaystyle W_{0}}$

${\displaystyle z=|W_{0}(x+i\ y)|}$



modul ${\displaystyle W_{0}}$

Protože funkce ${\displaystyle f}$ není prostá (injektivní), ${\displaystyle W(z)}$ je vícehodnotová a dá se chápat jako množina jednoznačných funkcí ${\displaystyle W_{k}(z),}$ kde ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ je index větve zobrazení. Pro reálné argumenty je nejdůležitější rostoucí funkce ${\displaystyle W_{0}(z)}$ popsaná níže, přičemž pro malé záporné reálné argumenty na intervalu ${\displaystyle (-1/e,0)}$ existuje i druhá možnost daná větví ${\displaystyle W_{-1}(x)}$, což je klesající funkce.

Vlastnosti

Rovnice ${\displaystyle x^{x}=z}$ má řešení:

${\displaystyle x={\frac {\ln(z)}{W(\ln z)}}=\exp W(\ln(z)).}$

Primitivní funkci k ${\displaystyle W}$ lze nalézt integrováním substitucí: pokud ${\displaystyle w=W(x),}$ tak ${\displaystyle x=we^{w}.}$ Pak

${\displaystyle \int W(x)\ dx=x\left(W(x)-1+{\tfrac {1}{W(x)}}\right)+C.}$

Derivace funkce ${\displaystyle W}$ je

${\displaystyle {\frac {dW(z)}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad \mathrm {pro\ } z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

Důkaz

Derivováním rovnice ${\displaystyle z=W(z)e^{W(z)}}$ podle ${\displaystyle z}$ dostaneme

${\displaystyle 1=W(z)e^{W(z)}W'(z)+W'(z)e^{W(z)}=W'(z)\left(W(z)e^{W(z)}+e^{W(z)}\right),}$

${\displaystyle W'(z)={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{W(z)z+W(z)e^{W(z)}}}={\frac {W(z)}{z(W(z)+1)}}.}$

Aplikace

Funkce ${\displaystyle W}$ se používá v kombinatorice a při řešení diferenciálních rovnic. Pomocí této funkce lze dále vyřešit mnoho transcendentních rovnic zahrnujících mocninu neznámé, pokud je rovnici možné převést na tvar ${\displaystyle Y=Xe^{X},}$ což automaticky dává řešení:

${\displaystyle Y=Xe^{X}\;\Longleftrightarrow \;X=W(Y).}$

Příklad 1

${\displaystyle 2^{t}=5t}$

${\displaystyle \Rightarrow 5t=e^{t\ln 2}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{5t}}=e^{-t\ln 2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}=\underbrace {-t\ln 2} _{X}e^{\overbrace {-t\ln 2} ^{X}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \underbrace {-t\ln 2} _{X}=W{\Big (}\underbrace {-{\tfrac {\ln 2}{5}}} _{Y}{\Big )}}$

${\displaystyle \Rightarrow t=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln 2}{5}}\right)}{\ln 2}}}$

Příklad 2

Nekonečné umocňování. Pokud hodnota ${\displaystyle z^{z^{z^{\ldots }}}}$ je konečná, lze ji vypočítat takto:

${\displaystyle c=z^{z^{z^{\ldots }}},}$

${\displaystyle \Rightarrow c=z^{c}.}$

Z toho dostaneme:

${\displaystyle c=-{\frac {W\left(-\ln z\right)}{\ln z}}.}$

Aby se dokázalo, že hodnota ${\displaystyle z^{z^{z^{\ldots }}}}$ existuje, je potřeba prozkoumat posloupnost

${\displaystyle a=(z,z^{z},z^{z^{z}},\dots )}$

nebo (v rekurzivní formě):

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}=z\\a_{n}=z^{a_{n-1}}\end{cases}}}$

a dokázat existenci limity. Pokud limita existuje, pak platí rovnost

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=c.}$

Příklad 3

Diferenciální rovnice vyjadřující opožděnou reakci

${\displaystyle y'(t)=ay(t-1)}$

má charakteristickou rovnici ${\displaystyle \lambda =ae^{-\lambda },}$ takže ${\displaystyle \lambda =W_{k}(a),}$ kde ${\displaystyle k}$ je číslo větve. Pokud ${\displaystyle a}$ je reálné, stačí vzít v úvahu větev ${\displaystyle W_{0}(a)}$. Řešení je tedy:

${\displaystyle y(t)=e^{W_{k}(a)\,t}.}$

Vybrané hodnoty

${\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {\pi }{2}})}$	${\displaystyle ={\tfrac {\pi }{2}}i}$
${\displaystyle W_{0}(-1)}$	${\displaystyle \approx -0{,}31813+1{,}33723i}$
${\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {1}{e}})}$	${\displaystyle =-1}$
${\displaystyle W_{0}(-{\tfrac {\ln 2}{2}})}$	${\displaystyle =-\ln 2}$
${\displaystyle W_{0}(0)}$	${\displaystyle =0}$
${\displaystyle W_{0}(e)}$	${\displaystyle =1}$
${\displaystyle W_{0}(1)}$	${\displaystyle =\Omega \approx 0{,}56714329}$ (konstanta známá jako omega)

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Funkcja W Lamberta na polské Wikipedii.

Literatura

• Oleszkiewicz Krzysztof, Funkcja Lamberta, „Delta”, 2014, ISSN 0137-3005 (polsky)

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Lambertova W funkce na Wikimedia Commons

• Lambertova funkce W v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika