Lineární aproximace

Lineární aproximace je metoda lokálního nahrazení funkčního předpisu funkce jeho přibližným vyjádřením pomocí lineární funkce. Účelem je snížení výpočetní náročnosti. Protože se jedná o aproximaci, je toto zjednodušení na úkor přesnosti. Používá se při numerických výpočtech i při analytickém řešení úloh.

Lineární aproximace funkce. Modrá funkce je funkce, se kterou chceme pracovat, ale je komplikovaná. Červená je její lineární aproximace v nule. Je jednodušší, ale je blízko k modré funkci jenom v okolí počátku.

Například kmity matematického kyvadla jsou popsány diferenciální rovnicí ${\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\sin \varphi =0}$, jejíž řešení nelze vyjádřit v analytickém tvaru. Při použití lineární aproximace pro malé výchylky se rovnice redukuje na ${\displaystyle {\ddot {\varphi }}+{\frac {g}{l}}\varphi =0}$, jejíž řešení je možno napsat pomocí goniometrických funkcí a je tak možné pracovat s analytickým tvarem řešení, toto řešení je však platné pouze pro malé výchylky.

Vzorce pro lineární aproximaci

Aby bylo možné následující aproximace použít, musí být funkce dostatečně hladká v bodě, v jehož okolí je aproximována. Matematicky medota vychází z Taylorova polynomu, který je možné použít i pro odhad chyby aproximace.

• Funkce ${\displaystyle f(x)}$ jedné proměnné má v bodě ${\displaystyle x_{0}}$ lineární aproximaci $${\displaystyle f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),}$$kde ${\displaystyle f'(x_{0})}$ je derivace funkce ${\displaystyle f(x)}$ vypočtená v bodě ${\displaystyle x_{0}.}$
• Funkce ${\displaystyle f(x,y)}$ dvou proměnných má v bodě ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ lineární aproximaci $${\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0})+f'_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}),}$$kde ${\displaystyle f'_{x}(x_{0},y_{0})}$ a ${\displaystyle f'_{y}(x_{0},y_{0})}$ jsou parciální derivace funkce ${\displaystyle f(x,y)}$ vypočtené v bodě ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$ Toto je možné zapsat pomocí gradientu ${\displaystyle \nabla f(x_{0},y_{0})}$ a skalárního součinu ve dvoučlenném tvaru

$${\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0})+\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot (x-x_{0},y-y_{0}).}$$

• Vektorová funkce ${\displaystyle F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))}$ dvou proměnných má v bodě ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ lineární aproximaci $${\displaystyle F(x,y)\approx F(x_{0},y_{0})+J(x_{0},y_{0}){\begin{pmatrix}x-x_{0}\\y-y_{0}\end{pmatrix}},}$$kde ${\displaystyle J(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial P}{\partial x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\partial P}{\partial y}}(x_{0},y_{0})\\{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})&{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x_{0},y_{0})\end{pmatrix}}}$ je Jacobiho matice funkce ${\displaystyle F(x,y)}$ vypočtená v bodě ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ a součin Jacobiho matice s sloupcovým vektorem na pravé straně chápeme jako maticový součin.

Analogicky je možno napsat aproximaci funkce libovolného počtu proměnných.

Nejběžnější lineární aproximace

Všechny následující aproximace platí v okolí nuly a jsou přímými důsledky vzorce pro lineární aproximaci funkce jedné proměnné.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&\approx x\\\\\cos x&\approx 1\\\\{\sqrt {1\pm x}}&\approx 1\pm {\frac {1}{2}}x\\\\{\frac {1}{\sqrt {1\pm x}}}&\approx 1\mp {\frac {1}{2}}x\\\\(1\pm x)^{n}&\approx 1\pm nx\end{aligned}}}$$

Využití lineární aproximace

• Lineární aproximace umožňuje redukovat přesný (ale komplikovaný a nelineární) relativistický vzorec pro kinetickou energii na jednoduchou kvadratickou závislost kinetické energie na rychlosti podle Newtonovské fyziky. V tomto případě používáme lineární aproximaci pro Lorentzův faktor. Ten má s využitím přibližného vzorce ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}x}$ pro ${\displaystyle x={\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$ aproximaci $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\approx 1+{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}.}$$Graficky je tato aproximace zachycena v úvodním obrázku pro Lorentzův faktor snížený o jedničku, což dává při použití přímo člen vyjařující kinetickou energii.
• Pokud je funkční hodnota v bodě aproximace nulová, redukuje se lineární aproximace na přímou úměrnost. Proto jsou konstitutivní zákony vyjadřovány pomocí přímé úměrnosti. V případě konstitutivního zákona mezi dvěma vektorovými veličinami je úměrnost vyjádřena Jacobiho maticí, tj. tenzorem druhého řádu. V tomto kontextu se matice z lineární aproximace často nazývá difuzní matice.

Odkazy

Související články

• Derivace
• Taylorův polynom
• Aproximace

Literatura

• Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5

Externí odkazy

• Aproximace ve fyzikálních úlohách, studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku, Martin Kapoun