Měřitelný prostor

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry.^[1] Sestává z libovolné neprázdné množiny a tzv. sigma-algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Definice

Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, kde^[2]

• ${\displaystyle X}$ je neprázdná množina,
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebra na množině ${\displaystyle X}$.

Příklad

Uvažujme množinu ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$, pak jedna z možných ${\displaystyle \sigma }$-algeber je

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}}$ a ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})}$ je měřitelný prostor,

další možnou ${\displaystyle \sigma }$-algebrou je potenční množina množiny ${\displaystyle X}$, tj.:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X)}$ a ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})}$ je jiný měřitelný prostor.

Měřitelné prostory

• Pokud ${\displaystyle X}$ je konečná nebo spočetná množina, pak potenční množina množiny ${\displaystyle X}$ je ${\displaystyle \sigma }$-algebrou, tj. ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$. Měřitelný prostor je pak ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$.
• Pokud ${\displaystyle X}$ je topologický prostor, pak ${\displaystyle \sigma }$-algebra může být borelovská množina ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, tj. ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)}$. Měřitelný prostor je pak ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$, obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny reálných čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Borelovské prostory

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat:

• jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše^[1],
• měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou ${\displaystyle \sigma }$-algebrou^[3].