Odmocnina

Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování, odmocnina je výsledkem této operace. Částečně proto, že definiční obory těchto dvou operací nejsou obecně vždy shodné. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí…), pak n-tá odmocnina z objektu a, označovaná jako ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$, je definována jako objekt b, pro který platí ${\displaystyle b^{n}=a}$. Číslo n se přitom nazývá odmocnitel a číslo a odmocněnec. Speciálním případem je druhá odmocnina, která se často označuje jen jako odmocnina a značí ${\displaystyle {\sqrt {a}}.}$

Graf kvadratické funkce (červeně) a k ní inverzní funkce druhá odmocnina (modře)

Odmocnina nemusí vždy v daném číselném oboru existovat (neexistují např. druhé odmocniny záporných čísel v oboru reálných čísel), anebo může naopak existovat více různých odmocnin.

Odmocnina z reálného čísla

V oboru reálných čísel je n-tá odmocnina z reálného čísla definována následovně:

Pro libovolné n ∈ ℕ, n ≠ 0 definujeme n-tou odmocninu z nezáporného reálného čísla a jako nezáporné reálné číslo b, pro které platí ${\displaystyle b^{n}=a}$. Z definice přímo plyne, že existuje-li takové číslo b, je jednoznačně dáno a odmocnina je tudíž funkcí. Značíme ${\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}}$.

Pro n = 2 definice druhé odmocniny z reálného čísla zní takto:

Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je nezáporné reálné číslo b, pro které platí, že ${\displaystyle b\cdot b=a}$. Značíme ${\displaystyle b={\sqrt {a}}}$.

Přestože platí například ${\displaystyle 2\cdot 2=4}$ a současně také ${\displaystyle (-2)\cdot (-2)=4}$, druhá odmocnina z čísla 4 je podle definice vždy nezáporné číslo, proto ${\displaystyle {\sqrt {4}}=2}$.

Je nutné rozlišovat mezi hodnotou odmocniny a kořeny řešení rovnice, například ${\displaystyle x^{2}-4=0}$. V oboru reálných čísel má tato rovnice dvě různá řešení, dva různé kořeny: ${\displaystyle x_{1}=2}$ a ${\displaystyle x_{2}=-2}$.

Pro obecné reálné číslo r ∈ ℝ, r ≠ 0 můžeme r-tou odmocninu pro a>0 definovat pomocí exponenciální funkce vztahem ${\displaystyle {\sqrt[{r}]{a}}=e^{{\frac {1}{r}}\ln(a)}}$.

Odmocnina z nezáporného čísla

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, tedy včetně nuly, m, n jsou přirozená čísla a k je číslo celé, pak pro n odmocninu platí tyto vzorce:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{0}}=0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}=1}$

${\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}=a}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0}$

${\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}}$

${\displaystyle ({\sqrt[{m}]{a}}){\sqrt[{n}]{a}}={\sqrt[{mn}]{a^{(m+n)}}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{k}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{k}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{k}=a^{\frac {k}{n}}\qquad a>0}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}{\sqrt[{n}]{a}}={\frac {1}{n}}a^{\frac {1-n}{n}}}$

${\displaystyle \int {\sqrt[{n}]{a}}\;\mathrm {d} a={\frac {n}{1+n}}a^{\frac {1+n}{n}}+C}$

Odmocnina ze záporného čísla

Pokud a je nezáporné číslo, m je přirozené číslo nebo nula a n je ve tvaru ${\displaystyle n=2m+1}$ (tedy je to liché číslo), pak platí:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}}$

Početní operace s mocninami a odmocninami reálného čísla

N odmocninu z nezáporného čísla a můžeme upravit na mocninu tohoto čísla takto:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}$

Pak lze s těmito mocninami počítat stejně, jako s mocninou ${\displaystyle a^{n}}$. A platí tyto vztahy:

${\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}\,}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}\qquad b>0}$

${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}\,}$

Příklady použití:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{\frac {25+12}{15}}=a^{\frac {37}{15}}}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {a}}{\sqrt[{4}]{a}}}=a^{\frac {1}{2}}a^{\frac {-1}{4}}=a^{\frac {2-1}{4}}=a^{\frac {1}{4}}}$

Odmocnina z komplexního čísla

Komplexním číslům chybí lineární uspořádání, které u reálných čísel využíváme k zvolení pouze nezáporného kořenu odpovídající rovnice. Odmocnina pro komplexní čísla tedy není jednoznačně určena, respektive není funkcí, pokud nezafixujeme dodatečný parametr ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Pro výpočet n-té odmocniny je vhodné vyjádřit odmocňované komplexní číslo z v goniometrickém tvaru jako ${\displaystyle z=|z|\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)}$, případně v exponenciálním tvaru jako ${\displaystyle z=|z|e^{i\phi }}$.

Potom hledaná odmocnina je

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}e^{i(\phi +2k\pi )/n}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{n}}\right)}$,

kde k je libovolné celé číslo.

Různých n-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě n. Druhé odmocniny z komplexních čísel jejichž reálná část je kladná a imaginární část je nulová, jsou v komplexním oboru vždy dvě komplexní čísla jejichž reálné části jsou opačná reálná čísla a imaginární části jsou nulové. Druhé odmocniny z komplexních čísel se zápornou reálnou částí a imaginární částí nulovou jsou vždy dvě ryze imaginární čísla, jež se liší znaménkem, např. komplexní druhé odmocniny čísla -1 jsou imaginární jednotka i a číslo -i.

Symbol pro odmocninu

Vysvětlení původu znaku pro odmocninu (${\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}$) je do značné míry spekulativní. Někteří historici matematiky se domnívají, že symbol poprvé použili Arabové. První známé použití je totiž u Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádího (1421–1486) a domněnkou je, že byl tento znak převzat z arabského písmene ج, což je první písmeno ve slově džidhr, které v arabštině znamená kořen (např. kořen řešení kvadratické rovnice)^[1]

Ale mnozí, včetně matematika Leonharda Eulera,^[2] se domnívají, že znak pochází z písmene r, prvního písmene latinského slova radix, které také znamená kořen.

Symbol byl poprvé použit v tisku (bez horní vodorovné čáry nad odmocňovanými čísly) v roce 1525 v díle Die Coss od německého matematika Christoffera Rudolffa.^[3]

Související články

• Druhá odmocnina
• Mocnina
• Babylónská metoda - iterační algoritmus pro výpočet odmocniny