Omezená funkce

Omezená funkce je pojem z oblasti matematické analýzy.

Definice

Červená funkce (Hyperbola) je omezená pouze zdola, zelená (Parabola) pouze shora a modrá (Hyperbolický tangens) je omezená shora i zdola

Mějme funkci ${\displaystyle f(x)}$ a množinu ${\displaystyle A\subseteq D(f)}$.

Existuje-li číslo ${\displaystyle K}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle f(x)\leq K}$, pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je na definičním oboru ${\displaystyle D(f)}$ shora ohraničená (omezená). Existuje-li supremum oboru hodnot ${\displaystyle R(f)}$ funkce ${\displaystyle f}$, pak také existuje číslo ${\displaystyle K}$, a funkce je tedy shora omezená.

Existuje-li číslo ${\displaystyle L}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle f(x)\geq L}$, pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je na definičním oboru ${\displaystyle D(f)}$ zdola ohraničená (omezená). Existuje-li infimum oboru hodnot ${\displaystyle R(f)}$ funkce ${\displaystyle f}$, pak také existuje číslo ${\displaystyle L}$, a funkce je tedy zdola omezená.

Existuje-li číslo ${\displaystyle M}$ takové, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle |f(x)|\leq M}$, pak říkáme, že funkce ${\displaystyle f}$ je na definičním oboru ${\displaystyle D(f)}$ ohraničená (omezená). Funkce omezená je tedy omezená shora i zdola, přičemž ${\displaystyle M=\max\{|K|,|L|\}}$.

Obor hodnot omezené funkce má konečné infimum i supremum. Pokud funkce není omezená zdola ani shora, pak je neohraničená (neomezená).

Literatura

• BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9.

Související články

• Absolutní hodnota
• Omezená množina