Pravá anomálie

Pravá anomálie je v nebeské mechanice úhlový parametr určující pozici tělesa, které se pohybuje po keplerovské dráze. Je to úhel mezi směrem periapsidy a okamžitou pozicí tělesa, měřený z hlavního ohniska elipsy (tj. bodu, okolo kterého těleso obíhá).

Pravá anomálie bodu P je úhel f. C je střed elipsy, F je ohnisko.

Pravá anomálie se obvykle značí řeckým písmenem ν (ný), θ (theta) nebo latinským písmenem f, a obvykle se uvádí v intervalu 0–360° (0–2π rad).

Pravá anomálie f je jedním ze tří úhlových parametrů (anomálií), kterými lze definovat pozici tělesa na oběžné dráze; dalšími je excentrická anomálie E a střední anomálie M.

Vzorce

Ze stavových vektorů

Pro eliptické oběžné dráhy lze pravou anomálii ν vypočítat z orbitálního stavového vektoru pomocí vzorce:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(je-li r ⋅ v < 0, použijeme 2π − ν místo ν)

kde:

• v je vektor rychlosti obíhajícího tělesa,
• e je vektor výstřednosti,
• r je polohový vektor (úsečka FP na obrázku) obíhajícího tělesa.

Kruhová oběžná dráha

Pro kruhové oběžné dráhy není pravá anomálie definovaná, protože u kruhové dráhy nelze určit periapsidu. Místo pravé anomálie se používá argument šířky u:

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(je-li r_z < 0, použijeme 2π − u místo u)

kde:

• n je vektor ukazující směrem k vzestupnému uzlu (jeho z-ová složka je nulová).
• r_z je z-ová složka polohového vektoru r

Kruhová oběžná dráha s nulovým sklonem

Pokud má kruhová oběžná dráha nulový sklon, není definován ani argument šířky, protože nelze určit ani polohu uzlů dráhy. Místo toho používáme pravou délku:

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \over {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(pro v_x > 0 je třeba místo l použít 2π − l)

kde:

• r_x je x-ová složka polohového vektoru r
• v_x je x-ová složka vektoru rychlosti v.

Z excentrické anomálie

Vztah mezi pravou anomálií ν a excentrickou anomálií ${\displaystyle E}$ je:

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

nebo pomocí sinu^[1] a tečny:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\operatorname {tg} {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

nebo ekvivalentně:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\operatorname {tg} {E \over 2}}$

tedy

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\operatorname {tg} {E \over 2}\,\right)}$

Broucke a Cefola^[2] uvádějí alternativní tvar této rovnice, který se vyhýbá numerickým problémům pro argumenty blízko ${\displaystyle \pm \pi }$, kdy obě tangenty rostou nade všechny meze. Díky tomu, že ${\displaystyle {\frac {E}{2}}}$ a ${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$ jsou vždy ve stejném kvadrantu, nebudou žádné problémy se znaménky.

${\displaystyle \operatorname {tg} {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}$ kde ${\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}$

tedy

${\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}$

Ze střední anomálie

Pravou anomálii lze spočítat přímo ze střední anomálie ${\displaystyle M}$ Fourierovým rozvojem: ^[3]

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}$

kde ${\displaystyle J_{n}}$ jsou Besselovy funkce a parametr ${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$.

Zanedbáním všech členů od řádu ${\displaystyle e^{4}}$ (což je indikováno členem ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$), lze zapsat jako^[3][4][5]

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}$

Tato aproximace se kvůli přesnosti obvykle používá pouze pro oběžné dráhy s malou výstředností ${\displaystyle e}$.

Výraz ${\displaystyle \nu -M}$ je znám jako rovnice středu, které je věnován samostatný článek s více detaily.

Poloměr z pravé anomálie

Poloměr (vzdálenost mezi ohniskem přitažlivosti a obíhajícím tělesem) je spojený s pravou anomálií vztahem

${\displaystyle r=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu }\,\!}$

kde a je velká poloosa oběžné dráhy.