Projekce (teorie množin)

Projekce je v teorii množin jeden ze dvou blízce příbuzných typů funkcí nebo operací:

• Množinově-teoretická operace typizovaná ${\displaystyle j}$-tým projekčním zobrazením, zapisovaným ${\displaystyle \mathrm {proj} _{j},}$ která vybírá ${\displaystyle j}$-tou složku ${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\ \dots ,\ x_{j},\ \dots ,\ x_{k})}$ kartézského součinu ${\displaystyle (X_{1}\times \cdots \times X_{j}\times \cdots \times X_{k}),}$ tj. ${\displaystyle \mathrm {proj} _{j}({\vec {x}})=x_{j}.}$^[1]
• Funkce, která zobrazí prvek ${\displaystyle x}$ na jeho třídu ekvivalence podle zadané ekvivalence ${\displaystyle E,}$^[2] nebo ekvivalentně surjektivní zobrazení z množiny na jinou množinu.^[3] Funkce zobrazující prvky na třídy ekvivalence je surjektivní zobrazení, a každé surjektivní zobrazení odpovídá relaci ekvivalence, podle které jsou dva prvky ekvivalentní právě tehdy, když mají stejný obraz. Výsledek projekce se zapisuje ${\displaystyle [x]_{E}}$ nebo pouze ${\displaystyle [x]}$ pokud je zřejmé, o jakou ekvivalenci se jedná.